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如圖，在多面體ABCDE中，DB丄平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE＝1，BD＝2．

(Ⅰ)在線段DC上存在一點(diǎn)F，使得EF丄面DBC，試確定F的位置，并證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

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在棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP＝m．

(1)試確定m，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為；

(2)在線段A₁C₁上是否存在一個定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．

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如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=m．
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

；
（2）在線段A₁C₁上是否存在一個定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論．

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如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=m，
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在一個定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論。

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

1.A   2.C     3.C   4.D  5.B   6.A   7.D   8.D  9.C   10.B    11.B      12.D

二、填空題（每小題4分，共16分）

   13.    14.3825     15.1      16.0ⅠⅡ

三、解答題

17.解：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

      而，則；

      （Ⅱ）由及正弦定理得，

      而，則

      于是，

     由得，當(dāng)即時，。

18解：（Ⅰ）基本事件共有36個，方程有正根等價于，即。設(shè)“方程有兩個正根”為事件，則事件包含的基本事件為共4個，故所求的概率為；

（Ⅱ）試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域，其面積為

設(shè)“方程無實(shí)根”為事件，則構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)?/p>

，其面積為

故所求的概率為

19.解：（Ⅰ）證明：由平面及得平面，則

   而平面，則，又，則平面，

   又平面，故。

（Ⅱ）在中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面.

由已知及（Ⅰ）得.

故

(Ⅲ)在中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則由得

  由平面平面，則平面

再由得平面，又平面，則平面.

  故當(dāng)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)時，平面.

  20.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

則，

（Ⅱ）由

得，故數(shù)列適合條件①

而，則當(dāng)或時，有最大值20

即，故數(shù)列適合條件②.

綜上，故數(shù)列是“特界”數(shù)列。

     21.證明：消去得

設(shè)點(diǎn)，則，

由，，即

化簡得，則

即，故

（Ⅱ）解：由

  化簡得

    由得，即

故橢圓的長軸長的取值范圍是。

22.解：（Ⅰ），由在區(qū)間上是增函數(shù)

則當(dāng)時，恒有，

即在區(qū)間上恒成立。

由且，解得.

（Ⅱ）依題意得

則，解得

而

故在區(qū)間上的最大值是。

（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個不同的交點(diǎn)，

即方程恰有3個不等的實(shí)數(shù)根。

而是方程的一個實(shí)數(shù)根，則

方程有兩個非零實(shí)數(shù)根，

則即且.

故滿足條件的存在，其取值范圍是.

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