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        1. (6)已知A(0.b).B為橢圓+=1(a>b>0)的左準線與x軸的交點.若線段AB的中點C在橢圓上.則該橢圓的離心率為 ( ) (A) (B) (C) (D) 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,B的橢圓,橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是
          [     ]
          A.(y≤-1)
          B.(y≥1)
          C.(x≤-1)
          D.(x≥1)

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          已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C為一個焦點作過A、B的橢圓,橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是(  )
          A、y2-
          x2
          48
          =1(y≤-1)
          B、y2-
          x2
          48
          =1
          C、y2-
          x2
          48
          =-1
          D、x2-
          y2
          48
          =1

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          已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左右頂點,F(xiàn)(1,0)為其右焦點.
          (Ⅰ)求橢圓C的標準方程及離心率;
          (Ⅱ)過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P(不同于A,B),與橢圓在點B處的切線交于點D.當直線l繞點A轉動時,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系,并加以證明.

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          已知A(-1,0),B(1,0),設M(x,y)為平面內的動點,直線AM,BM的斜率分別為k1,k2
          ①若
          k1
          k2
          =2
          ,則M點的軌跡為直線x=-3(除去點(-3,0))
          ②若k1•k2=-2,則M點的軌跡為橢圓x2+
          y2
          2
          =1
          (除去長軸的兩個端點)
          ③若k1•k2=2,則M點的軌跡為雙曲線x2-
          y2
          2
          =1

          ④若k1+k2=2,則M點的軌跡方程為:y=x-
          1
          x
          (x≠±1)
          ⑤若k1-k2=2,則M點的軌跡方程為:y=-x2+1(x≠±1)
          上述五個命題中,正確的有
          ①④⑤
          ①④⑤
          (把所有正確命題的序號都填上).

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          已知A(4,0),B(2,2),M為橢圓
          x2
          25
          +
          y2
          9
          =1
          上的點,則
          5
          4
          |MA|+|MB|
          的最小值為
          17
          4
          17
          4

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          一、選擇題:(本大題共8小題,每小題5分,共40分.)

          題號

          (1)

          (2)

          (3)

          (4)

          (5)

          (6)

          (7)

          (8)

          答案

          B

          B

          A

          D

          D

          C

          A

          C

          二、填空題(本大題共6小題,每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)

          (9)2 。10),8  (11)(-∞,-1)∪(-1,1) 。12)16,

          (13) 。14)204,53

          三、解答題(本大題共6小題,共80分.)

          (15)(共12分)

          解:()由已知可得

          fx)=(cosx+2sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx…………………………1分=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx

          =cos2x+3sinxcosx-2sin2x

          =(1+cos2x)+sin2x+(cos2x-1)

          =(sin2x+cos2x)-=sin(2x+)-…………………6分

          -<2x+<+得: -<x<+…………………8分

          即函數(shù)fx)的單調遞增區(qū)間為(-,+)(kZ).…………9分

          )由()有fx)=sin(2x+)-,∴fxmax=.…10分

          所求x的集合.…………………………………12分

          (16)(共14分)

          方法一:

          )證明:連結BDACE,連結ME. ……………………………………1分

          ABCD是正方形,∴EBD的中點.∵MSD的中點,∴ME是△DSB的中位線.

          MESB. ……………………………………………………………………2分

          又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM,………………………………………3分

          SB∥平面ACM. ……………………………………………………………4分

          )解:取AD中點F,則MFSA.作FQACQ,連結MQ. ……………5分

          SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.

          FQMQ在平面ABCD內的射影.

          FQAC,∴MQAC.

          ∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角.……………………………………7分

          SA=AB=a,在Rt△MFQ中,MF=SA=,FQ=DE=,

          ∴tanFQM==.

          ∴二面角D-AC-M的大小為arctan.……………………………………9分

          )證明:由條件有DCSA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD.∴AMDC.…10分

          又∵SA=AD,MSD的中點,∴AMSD.

          AM⊥平面SDC.………………………………………………………11分

          SCAM.

          由已知SCAN,∴SC⊥平面AMN.

          SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………14分

          方法二:

          解:()如圖,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系A-xyz,5分

          SA=AB,故設AB=AD=AS=1,則A(0,0,0),B(0,1,0),

          C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M,0,).

          SA⊥底面ABCD

          是平面ABCD的法向量,=(0,0,1).

          設平面ACM的法向量為n=(xy,z),

          *=(1,1,0),=(,0,),………………7分

          x=1,則n=(1,-1,-1).………………………………………………………8分

          ∴cos<,n>===.

          ∴二面角D-AC-M的大小為arccos.…………………………………………9分

          )∵=,=(-1,-1,1),…………………………………………10分

          ?==0.

          .…………………………………………………………………………12分

          又∵SCANANAM=A

          SC⊥平面AMN.又SC?平面SAC,

          ∴平面SAC⊥平面AMN. ……………………………………………………………14分

          (17)(共12分)

          解:()設“這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報”的事件為A,……1分

          P(A)=(0.3)3(0.7)=0.0756………………………………………………4分

          答:這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率為0.0756.

          (Ⅱ)設“這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報”的事件為B,………………5分

          P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704………………………………………………8分

          答:這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率為0.8704.

          (Ⅲ)設“這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱”的事件為C,………9分

          因為有30%的家庭訂閱了A報,有60%的家庭訂閱了B報,有20%的家庭同時訂閱了A報和B報.所以兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%.

          所以P(C)=(0.3)2(0.7)2=0.2646………………………………………12分

          答:這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱的概率為0.2646.

          注:第三問若寫出兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%,后面計算有誤,給到10分.

          (18)(共14分)

          解:()設拋物線S的方程為y2=2px. …………………………………………………1分

          可得2y2+py-20p=0.……………………………………………………3分

          由Δ>0,有p>0,或p<-160.

          Bx1,y1),Cx2,y2),則y1+y2=,

          x1+x2=(5-)+(5-)=10-=10+…………………………………5分

          Ax3,y3),由△ABC的重心為F,0),則,

          x3=-10,y3=.

          ∵點A在拋物線S上,∴=2p().∴p=8.…………………………6分

          ∴拋物線S的方程為y2=16x. …………………………………………………………7分

          )當動直線PQ的斜率存在時,

          PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0. ………………………………………8分

          Pxp,yp),QxQxQ),

          OPOQ,∴kOP?kOQ=-1.

          ?=-1,∴xPxQ+yPyQ=0. …………………………………………………10分

          y=kx+b代入拋物線方程,得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=.

          從而xPxQ==,∴=0.

          k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴動直線方程為y=kx-16k=kx-16).

          此時動直線PQ過定點(16,0).…………………………………………………12分

          當直線PQ的斜率不存在時,顯然PQx軸,又OPOQ

          ∴△POQ為等腰直角三角形.

          得到P(16,16),Q(16,-16).

          此時直線PQ亦過點(16,0).……………………………………………………13分

          綜上所述,動直線PQ過定點M(16,0).………………………………………14分

          (19)(共14分)

          解:(Ⅰ)∵fx)=ax3+bx2-a2xa>0),∴x)=3ax2+2bx-a2a>0)………1分

          依題意有,∴.……………………………2分

          解得fx)=6x3-9x2-36x.…………………………………………………4分

          )∵=3ax2+2bx-a2a>0)

          依題意,x1,x2為方程=0的兩個根,且|x1|+|x2|=,

          ∴(x1+x22-2x1x2+2|x1x2|=8.

          ∴b2=3a2=(6-a).

          ∵b2≥0,∴0<a≤6.……………………………………………………………………6分

          設p(a)=3a2(6-a),則a)=-9a2+36a.

          a)>0得0<a<4,由a)<0得a>4.

          即函數(shù)pa)在區(qū)間(0,4)上是增函數(shù),在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),

          ∴當a=4時,pa)有極大值為96,∴pa)在(0,6]上的最大值是96.

          b的最大值為4.…………………………………………………………………9分

          (Ⅲ)證明:∵x1,x2是方程的兩根,

          3ax-x1)(x-x2).………………………………………………………10分

          x1?x2=-,x2=a,∴x1=-.

          ∴|gx)|=|3ax+)(x-a)-ax+)|=|ax+)[3(x-a)-1]|

          x1<x<x2,即-<x<a.

          ∴||=ax+)(-3x+3a+1)…………………………………………………12分

          ∴||=-3ax+)(x-)=-3a++a2+

          +a2+=.……………………………………………………14分

          ∴||≤成立.

          (20)(共14分)

          解:()令x=1,y=0∴f(1)f(0)=f(1)+f(1).

          f(1)=,∴f(0)=2…………………………………………………………1分

          x=0,∴f(0)fy)=fy)+f(-y)即2fy)=fy)+f(-y

          fy)=f(-y),對任意實數(shù)y總成立,∴fx)為偶函數(shù).……………………3分

          (Ⅱ)令x=y=1,得f(1)f(1)=f(2)+f(0).

          =f(2)+2.

          f(2)=.

          a1=2f(2)-f(1)==6.…………………………………………………5分

          x=n+1,y=1,得fn+1)f(1)=fn+2)+fn).

          fn+2)=fn+1)-fn).…………………………………………………6分

          an+1=2fn+2)-fn+1)=2[fn+1)-fn)]-fn+1)

          =4fn+1)-2fn)=2[fn+1)-fn)]=2ann≥1).………………8分

          ∴{an}是以6為首項,以2為公比的等比數(shù)列.…………………………………9分

          (Ⅲ)結論:fx1)<fx2).

          證明:設y≠0,

          y≠0時,fy)>2,

          fx+y)+fx-y)=fxfy)>2fx),即fx+y)-fx)>fx)-fx-y).

          ∴對于kN,總有f[(k+1)y]-fky)>fky)-f[(k-1)y]成立.

          f[(k+1)y]-fky)>fky)-f[(k-1)y]>f[(k-1)y]-f[(k-2)y

          >…>fy)-f(0)>0.

          ∴對于kN總有f[(k+1)y]>fky)成立.

          ∴對于m,nN,若n<m,則有fny)<…<fmy)成立.

          x1,x2Q,所以可設|x1|=,|x2|=,其中q1,q2是非負整數(shù),p1p2都是正整數(shù),

          則|x1|=,|x2|=.

          y=,t=q1p2,s=p1q2,則t,sN.

          ∵|x1|<|x2|,∴t<s.∴fty)<fsy),即f(|x1|)<f(|x2|).

          ∵函數(shù)fx)為偶函數(shù),∴f(|x1|)=fx1),f(|x2|)=fx2);

          fx1)<fx2).…………………………………………………………14分

           

          說明:其他正確解法按相應步驟給分.

           


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