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        1. (Ⅱ)數(shù)列時(shí).證明當(dāng)時(shí)., 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,當(dāng)n≥1時(shí),Sn+1是an+1與Sn+1+k的等比中項(xiàng)(k≠0).
          (1)求證:對(duì)于n≥1有
          1
          Sn
          -
          1
          Sn+1
          =
          1
          k

          (2)設(shè)a1=-
          k
          2
          ,求Sn
          (3)對(duì)n≥1,試證明:S1S2+S2S3+…+SnSn+1
          k2
          2
          .

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          數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),sn為其前n項(xiàng)的和,對(duì)于n∈N*,總有an,sn,an2成等差數(shù)列.
          (1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)數(shù)列{
          1
          an
          }的前n項(xiàng)的和為Tn,數(shù)列{Tn}的前n項(xiàng)的和為Rn,求證:當(dāng)n≥2時(shí),Rn-1=n(Tn-1)
          (3)設(shè)An為數(shù)列{
          2an-1
          2an
          }的前n項(xiàng)積,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式An
          2an+1
          <a對(duì)一切n∈N+都成立?若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          數(shù)列{an},{bn}滿足:
          an+1=kan+n
          bn=an-
          2
          3
          n+
          4
          9
          ,(k∈R)

          (1)當(dāng)a1=1時(shí),求證:{an}不是等差數(shù)列;
          (2)當(dāng)k=-
          1
          2
          時(shí),試求數(shù)列{bn}是等比數(shù)列時(shí),實(shí)數(shù)a1滿足的條件;
          (3)當(dāng)k=-
          1
          2
          時(shí),是否存在實(shí)數(shù)a1,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有
          1
          3
          Sn
          2
          3
          成立(其中Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和),若存在,求出a1的取值范圍;若不存在,試說(shuō)明理由.

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          數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正值,a1,對(duì)任意n∈N*,
          a
          2
          n+1
          -1=4an(an+1)
          ,bn=log2(an+1)都成立.
          (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
          (2)當(dāng)k>7且k∈N*時(shí),證明對(duì)任意n∈N*都有
          1
          bn
          +
          1
          bn+1
          +
          1
          bn+2
          +…+
          1
          bnk-1
          3
          2
          成立.

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          數(shù)列{an}中a1=2,an+1=
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )
          ,{bn}中bn • log9
          an+1
          an-1
          =1,n∈N*

          (1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,并求出其通項(xiàng)公式;
          (2)當(dāng)n≥3(n∈N*)時(shí),證明:
          1
          4
          b1
          +(-1)
          +
          2
          4
          b2
          +(-1)2
          +
          3
          4
          b3
          +(-1)3
          +…+
          n
          4
          bn
          +(-1)n
          <3

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          一、選擇題(每小題5分,共12小題,滿分60分)

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                        2,4,6

                        二、填空題(每小題4分,共4小題,滿分16分)

                        13.800    14.    15.625    16.②④

                        三、解答題(本大題共6小題,滿分74分)

                        17.解

                           (Ⅰ)由題意知

                        ……………………3分

                        ……………………4分

                        的夾角

                        ……………………6分

                        (Ⅱ)

                        ……………………9分

                        有最小值。

                        的最小值是……………………12分

                        18.解:

                        (Ⅰ)設(shè)“一次取出3個(gè)球得4分”的事件記為A,它表示取出的球中有1個(gè)紅球和2個(gè)黑球的情況

                        ……………………4分

                        (Ⅱ)由題意,的可能取值為3、4、5、6。因?yàn)槭怯蟹呕氐厝∏,所以每次取到紅球的概率為……………………6分

                        的分布列為

                        3

                        4

                        5

                        6

                        P

                        ……………………10分

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                        19.解:

                        連接BD交AC于O,則BD⊥AC,

                        連接A1O

                        在△AA1O中,AA1=2,AO=1,

                        ∠A1AO=60°

                        ∴A1O2=AA12+AO2-2AA1?Aocos60°=3

                        ∴AO2+A1O2=A12

                        ∴A1O⊥AO,由于平面AA1C1C

                        平面ABCD,

                        所以A1O⊥底面ABCD

                        ∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,

                        ……………………2分

                        (Ⅰ)由于

                        ∴BD⊥AA1……………………4分

                          (Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C

                        ∴平面AA1C1C的法向量

                        設(shè)⊥平面AA1D

                        得到……………………6分

                        所以二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

                        (Ⅲ)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P,使BP//平面DA1C1

                        設(shè)

                        ……………………9分

                        設(shè)

                        設(shè)

                        得到……………………10分

                        又因?yàn)?sub>平面DA1C1

                        ?

                        即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP……………………12分

                        法二:在A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O,由于平面AA1C­1C⊥平面

                        ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理知,A1O⊥平面ABCD,

                        又底面為菱形,所以AC⊥BD

                          1. ……………………4分

                            (Ⅱ)在△AA1O中,A1A=2,∠A1AO=60°

                            ∴AO=AA1?cos60°=1

                            所以O(shè)是AC的中點(diǎn),由于底面ABCD為菱形,所以

                            O也是BD中點(diǎn)

                            由(Ⅰ)可知DO⊥平面AA1C

                            過(guò)O作OE⊥AA1于E點(diǎn),連接OE,則AA1⊥DE

                            則∠DEO為二面角D―AA1―C的平面角

                            ……………………6分

                            在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°

                            ∴AC=AB=BC=2

                            ∴AO=1,DO=

                            在Rt△AEO中,OE=OA?sin∠EAO=

                            DE=

                            ∴cos∠DEO=

                            ∴二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

                            (Ⅲ)存在這樣的點(diǎn)P

                            連接B1C,因?yàn)锳1B1ABDC

                            ∴四邊形A1B1CD為平行四邊形。

                            ∴A1D//B1C

                            在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P,使C1C=CP,連接BP……………………10分

                            因B­1­BCC1,……………………12分

                            ∴BB1CP

                            ∴四邊形BB1CP為平行四邊形

                            則BP//B1C

                            ∴BP//A1D

                            ∴BP//平面DA1C1

                            20.解:

                            (Ⅰ)

                            ……………………2分

                            當(dāng)是增函數(shù)

                            當(dāng)是減函數(shù)……………………4分

                            ……………………6分

                            (Ⅲ)(i)當(dāng)時(shí),,由(Ⅰ)知上是增函數(shù),在上是減函數(shù)

                            ……………………7分

                            又當(dāng)時(shí),所以的圖象在上有公共點(diǎn),等價(jià)于…………8分

                            解得…………………9分

                            (ii)當(dāng)時(shí),上是增函數(shù),

                            所以原問(wèn)題等價(jià)于

                            ∴無(wú)解………………11分