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        1. 數(shù)列{an}中a1=2,an+1=
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )
          ,{bn}中bn • log9
          an+1
          an-1
          =1,n∈N*

          (1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,并求出其通項公式;
          (2)當n≥3(n∈N*)時,證明:
          1
          4
          b1
          +(-1)
          +
          2
          4
          b2
          +(-1)2
          +
          3
          4
          b3
          +(-1)3
          +…+
          n
          4
          bn
          +(-1)n
          <3
          分析:(1)根據(jù){bn}中bn • log9
          an+1
          an-1
          =1,n∈N*
          ,an+1=
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )
          ,可得bn+1=
          1
          2
          bn
          ,從而可證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,并求出其通項公式;
          (2)先將通項化簡可得
          4
          bn
          =
          1
          (
          1
          2
          )
          n
          =2n
          ,從而有Cn=
          n
          4
          bn
          +(-1)n
          =
          n
          2n+(-1)n
          ,先證:
          n
          2n+(-1)n
          n+1
          2n
           (n≥3)

          ,從而有
          1
          4
          b1
          +(-1)
          +
          2
          4
          b2
          +(-1)2
          +
          3
          4
          b3
          +(-1)3
          +…+
          n
          4
          bn
          +(-1)n
          2
          21
          +
          3
          22
          +
          4
          23
          +…+
          n+1
          2n

          T=
          2
          21
          +
          3
          22
          +
          4
          23
          +…+
          n+1
          2n
          1
          2
          T=
          2
          22
          +
          3
          23
          +…+
          n
          2n
          +
          n+1
          2n+1
          ②,利用錯位相減法即可求解.
          解答:證明:(1)由bn+1 • log9
          an+1+1
          an+1-1
          =1⇒bn+1 • log9
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )+1
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )-1
          =1⇒bn+1 • log9(
          an+1
          an-1
          )2=1
          ⇒2bn+1 • log9
          an+1
          an-1
          =1
          bn • log9
          an+1
          an-1
          =1

          bn+1=
          1
          2
          bn

          又n=1時,b1 • log9
          a1+1
          a1-1
          =1⇒b1=2

          ∴{bn}為等比數(shù)列,b1=2,q=
          1
          2
          ,∴bn=2 • (
          1
          2
          )n-1=(
          1
          2
          )n-2

          (2)∵bn=(
          1
          2
          )n-2=4 • (
          1
          2
          )n
          4
          bn
          =
          1
          (
          1
          2
          )
          n
          =2n

          Cn=
          n
          4
          bn
          +(-1)n
          =
          n
          2n+(-1)n

          先證:
          n
          2n+(-1)n
          n+1
          2n
           (n≥3)

          當n為偶數(shù)時,顯然成立;
          當n為奇數(shù)時,即證
          n
          2n-1
          n+1
          2n
          ?n • 2n<n • 2n-n+2n-1?2n>n+1

          而當n≥3時,2n>n+1也成立,故
          n
          2n+(-1)n
          n+1
          2n
            (n≥3)

          1
          4
          b1
          +(-1)
          +
          2
          4
          b2
          +(-1)2
          +
          3
          4
          b3
          +(-1)3
          +…+
          n
          4
          bn
          +(-1)n
          2
          21
          +
          3
          22
          +
          4
          23
          +…+
          n+1
          2n

          T=
          2
          21
          +
          3
          22
          +
          4
          23
          +…+
          n+1
          2n
          1
          2
          T=
          2
          22
          +
          3
          23
          +…+
          n
          2n
          +
          n+1
          2n+1

          ①-②:
          1
          2
          T=1+
          1
          22
          +
          1
          23
          +…+
          1
          2n
          -
          n+1
          2n+1
          ⇒T=2+
          1
          2
          +
          1
          22
          +…+
          1
          2n-1
          -
          n+1
          2n
          =2+
          1
          2
          [1-(
          1
          2
          )
          n-1
          ]
          1-
          1
          2
          -
          n+1
          2n
          =3-(
          1
          2
          )n-1-
          n+1
          2n
          <3

          1
          4
          b1
          +(-1)
          +
          2
          4
          b2
          +(-1)2
          +
          3
          4
          b3
          +(-1)3
          +…+
          n
          4
          bn
          +(-1)n
          <3
          點評:本題以數(shù)列為載體,考查等比數(shù)列,考查數(shù)列與不等式,考查錯位相減法,綜合性強,難度大.
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          1
          2
          (an+
          1
          an
          )
          ,{bn}中bn • log9
          an+1
          an-1
          =1,n∈N*
          .求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,并求出其通項公式;

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          1
          2
          ,前n項和Sn滿足Sn+1-Sn=(
          1
          2
          )n+1
          (n∈N*).
          ( I ) 求數(shù)列{an}的通項公式an以及前n項和Sn;
          (Ⅱ)記  bn=
          n+1
          2an
          (n∈N*)求數(shù)列{bn} 的前n項和Tn
          (Ⅲ)試確定Tn
          5n
          4n+2
          (n∈N*)的大小并證明.

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          1
          n2+n
          ,則an=
          2n-1
          n
          2n-1
          n

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          1
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          +4(x≠0),各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中a1=1,
          1
          an+12
          =f(an)(n∈N+).
          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)數(shù)列{bn}滿足:?n∈N+,bn=
          a
          2
          n
          (3n-1)
          a
          2
          n
          +n
          ,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,若Sn>a對?n∈N+恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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