Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x2

+4（x≠0），各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n）（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足：?n∈N+，bn=

a 2 n

(3n-1) a 2 n +n

，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，若S_n＞a對?n∈N⁺恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知

1

an+12

=

1

an2

+4，由此能得到

1

an2

=4n-3，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由

1

an2

=4n-3，知bn=

an2

(3n-1)an2+n

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項求和法能求出S_n=

n

2n+1

，由S_n＞a對?n∈N⁺恒成立，能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

x2

+4（x≠0），
各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n）（n∈N⁺），
∴

1

an+12

=

1

an2

+4，即

1

an+12

-

1

an2

=4，
∴{

1

an2

}是以1為首項4為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an2

=4n-3，
∴an=

1

4n-3

．…（6分）
（2）∵

1

an2

=4n-3，
∴bn=

an2

(3n-1)an2+n

=

1

(3n-1)+ n an2

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…（10分）
∴(Sn)min=S1=

1

3

，
∵S_n＞a對?n∈N⁺恒成立，
∴a＜(Sn)min=S1=

1

3

，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

3

）．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法及其應(yīng)用．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項求和法的合理運用．