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如圖所示，多面體ABCDS中，四邊形ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，SD=

3

AD，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)．
（1）求證：SM⊥AN；
（2）求二面角A-SC-D的余弦值．

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在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，SA=AD，M為AB的中點(diǎn)，N為SC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面SAD； 
（2）求證：平面SMC⊥平面SCD；
（3）記

CD

AD

=λ，求實(shí)數(shù)λ的值，使得直線SM與平面SCD所成的角為30°．

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說(shuō)明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解答與本解答不同，可根據(jù)試題的主要內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

       二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答 某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

       三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

       四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．

1、A             2、A             3、C              4、C              5、A             6、C

7、B              8、C              9、A             10、D            11、B            12、B

二、填空題：本大題共4個(gè)小題；每小題4分，共16分.本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．

13、2                   14、0                   15、2                       16、② ④

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答.

17．本小題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，誘導(dǎo)公式，兩角和差公式，二倍角公式，三角函數(shù)的圖象及單調(diào)性等基本知識(shí)以及推理和運(yùn)算能力．滿分12分

解：（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0

從而sin+cos＞0  ………………………………………………………… 3分

 ∴ =sin+cos===  …………6分

（2）∵∴=-sinx+cosx=sin(x+)  ………………………… 8分

∴時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為[，]，………………………………10分

單調(diào)遞減區(qū)間為[，2]．………………………………………… 12分

18．本小題主要考查等差、比數(shù)列的概念，應(yīng)用通項(xiàng)公式及求和公式進(jìn)行計(jì)算的能力．

滿分12分

解：（1）   ∴，

        所以， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，………4分

∴

        （2）由（1）得

解法二：（1）同解法一

       （2） 由（1）得

         ∴……………8分，

         ∴，

         ∴， ……………10分

=

=，……………………………11分

            又. ………………………12分

19．本小題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離�？疾榭臻g想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．滿分12分

解法一：（1）在直角梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A做AN垂直BC，

垂足為N，易得BN=1，同時(shí)四邊形ANCD是矩形，

則CN=1，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N與點(diǎn)M重合,．

…………………………………………………………2分

連結(jié)AM,

因?yàn)?sub>平面ABCD，所以,又AD∥BC，

所以SM AD�！�……4分

（2）過(guò)點(diǎn)A做AG垂直SM，G為垂足，

易證平面SAM,

則，在RT中， �！�……7分

又AD∥平面SBC,所以點(diǎn)D到平面SBC的距離為點(diǎn)A到平面SBC的距離AG,

點(diǎn)D到平面SBC的距離為………8分

（3）取AB中點(diǎn)E，因?yàn)?sub>是等邊三角形，所以,又,得，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直SB， F為垂足，連結(jié)CF，則，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小為．………12分

解法二：（1）同解法一．

（2）根據(jù)（1），如圖所示，分別以AM,AD,AC所在射線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

所以，,．

設(shè)平面SBC的法向量，則,

即 ，

解得，取．………6分

又=，則點(diǎn)D到平面SBC的距離

．………8分

（3）設(shè)平面ASB的法向量，則,

即，

解得，取．………10分

∴，則二面角A-SB-C的大小為．………12分

20．本小題主要考查排列組合與概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理、運(yùn)算能力與分類討論思想，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 滿分12分

解：（1）因?yàn)閿S出1點(diǎn)的概率為，

所以甲盒中有3個(gè)球的概率………………………4分

     （2）甲、乙、丙3個(gè)盒中的球數(shù)依次成等差數(shù)列有以下三種情況：

①甲、乙、丙3個(gè)盒中的球數(shù)分別為0、1、2，

此時(shí)的概率  ……………………………6分

②甲、乙、丙3個(gè)盒中的球數(shù)分別為1、1、1，

此時(shí)的概率  ……………………………8分

③甲、乙、丙3個(gè)盒中的球數(shù)分別為2、1、0，

此時(shí)的概率 ……………………………10分

所以，甲、乙、丙3個(gè)盒中的球數(shù)依次成等差數(shù)列的概率…12分

21．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值等基本知識(shí)；考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法；考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及運(yùn)算能力，滿分12分．

解（Ⅰ）

上單調(diào)遞增，在[－2，2]上單調(diào)遞減，

，……2分

，

…………………………4分

又 

……………………………………………………6分

   （Ⅱ）已知條件等價(jià)于在……………………8分

上為減函數(shù)，

且……………………………………10分

上為減函數(shù)，

又………………………………………………12分

22．本小題主要考查直線、橢圓、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，以及應(yīng)用這些知識(shí)研究曲線幾何特征

基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．滿分14分．

解:（１）當(dāng)時(shí)  ，，

消去得:  ， ………2分

此時(shí)ㄓ>0，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 , 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，

則有=  ，  3

=   ，  4

，∴ ，代入3、4得

消去得

解得，

 則所求橢圓C的方程．……………………6分

 (２) 當(dāng)2時(shí)，橢圓C的方程，………………７分

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 , 點(diǎn)坐標(biāo)為，

直線的方程為:，

與的方程: 聯(lián)立得: M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

同理可得: ，………………９分

則=   

      …10分

     ，

此時(shí)ㄓ>0，由 =   ，=   ，

=   ，=   ，……………… 12分

則，

 ……………………13分

（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

∴的最小值為6. ……………………14分