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已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F₁、F₂、B，我們稱(chēng)△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以?huà)佄锞�(xiàn)y2=4

3

x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線(xiàn)y=nx與拋物線(xiàn)x2=

1

mn

y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線(xiàn)4x²-4y²=1上．
（3）已知直線(xiàn)l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線(xiàn)l上，B，D在曲線(xiàn)C_b上，若存在求出函數(shù)f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（3，1），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且

F1P

•

F2P

=-6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線(xiàn)x=5上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F₁M⊥F₂N，則以MN為直徑的圓C是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1．(a＞b＞0)，其中短軸長(zhǎng)和焦距相等，且過(guò)點(diǎn)M(2，

2

)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P（x₀，y₀）在橢圓C的外部，過(guò)P做橢圓的兩條切線(xiàn)PM、PN，其中M、N為切點(diǎn)，則MN的方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．已知點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y-4=0上，試求橢圓右焦點(diǎn)F到直線(xiàn)MN的距離的最小值．