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				已知橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）過點(diǎn)P（3，1），其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且
          F1P
          •
          F2P
          =-6          ．
          （1）求橢圓E的方程；
          （2）若M，N是直線x=5上的兩個動點(diǎn)，且F1M⊥F2N，則以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)？請說明理由．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）根據(jù)題意分別寫出
          F1P
          與
          F2P
          ，所以
          F1P
          •
          F2P
          =(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6          ，解得c=4，再結(jié)合橢圓的定義可得a得數(shù)值，進(jìn)而得到橢圓E的方程．　　　　
          （2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（5，m），（5，n），則得到
          F1M
          ，
          F2N
          ，所以
          F1M
          •
          F2N
          =9+mn=0          ，即mn=-9，并且得到圓C的方程為(x-5)2+(y-
          m+n
          2
          )2=(
          |m-n|
          2
          )2          ，化簡可得（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，令y=0，可得x=8或2，即可得到答案．
          解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）（c＞0），
          則
          F1P
          =(3+c，1)，
          F2P
          =(3-c，1)          ，
          故
          F1P
          •
          F2P
          =(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6          ，
          解得c=4，
          所以2a=|PF1|+|PF2|=
          		(3+4)2+12
          +
          		(3-4)2+12
          =6
          		2
          ，
          所以a=3
          		2
          ，b2=a2-c2=18-16=2          ，
          所以橢圓E的方程為
          x2
          18
          +
          y2
          2
          =1          ．　　　　　
          （2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（5，m），（5，n），則
          F1M
          =(9，m)，
          F2N
          =(1，n)          ，
          因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
          F1M
          ⊥
          F2N
          ，
          所以
          F1M
          •
          F2N
          =9+mn=0          ，即mn=-9，
          又因?yàn)閳AC的圓心為(5，
          m+n
          2
          )          ，半徑為
          |m-n|
          2
          ，
          所以圓C的方程為(x-5)2+(y-
          m+n
          2
          )2=(
          |m-n|
          2
          )2          ，
          即（x-5）2+y2-（m+n）y+mn=0，即（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，
          令y=0，可得x=8或2，
          所以圓C必過定點(diǎn)（8，0）和（2，0）．
          點(diǎn)評：此題是個中檔題．考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及圓與橢圓的綜合等知識，同時考查了學(xué)生分析問題與解決問題的能力．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖，已知橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
          		2
          ，橢圓四個頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
          		2
          ．
          （1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
          （2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
          （3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
          （1）若過兩個切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
          （2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
          		2
          -1），求此時的橢圓方程；
          （3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
          		2
          2
          ，-
          		3
          3
          ）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          3
          =1          （a＞
          		3
          ）的離心率e=
          1
          2
          ．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
           （1）求橢圓E的方程；
           （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•佛山二模）已知橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的一個交點(diǎn)為F1(-
          		3
          ，0)          ，而且過點(diǎn)H(
          		3
          ，
          1
          2
          )          ．
          （Ⅰ）求橢圓E的方程；
          （Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓E：
          x2
          a2
          +y2=1          （a＞1）的離心率e=
          		3
          2
          ，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
          （Ⅰ）求橢圓E的方程；
          （Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時候，求t的值；
          （Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．
          

			
          

			
          
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