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（I）求異面直線MN和CD₁所成的角；
（II）證明：EF//平面B₁CD₁.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系.曲線C₁的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）；射線C₂的極坐標(biāo)方程為：,且射線C₂與曲線C₁的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
(I )求曲線C₁的普通方程；
(II)設(shè)A、B為曲線C₁與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，M為曲線C₁上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若直線AM與MB分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn)，求證|OP|.|OQ|為定值.

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，、分別為、的中點(diǎn)。
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積；
（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值。

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1．B    2．D   3．A   4．A   5．B   6．C   7．C   8．C   9．A   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

11．5   12．    13．    14．7       15．

三、解答題：本大題共6小題，共80分。

16．解：（I）由三角函數(shù)的定義可知

    又為正三角形，

   （Ⅱ）

      圓的面積為。

     該點(diǎn)落在內(nèi)的概率

17．解：（I）依題意，每個(gè)月更新的車(chē)輛數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，設(shè)第

個(gè)月更新的車(chē)輛數(shù)為，則

    該市的出租車(chē)總數(shù)（輛）

   （Ⅱ）依題意，每個(gè)月更新的車(chē)輛數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列，則第

個(gè)月更新的車(chē)輛數(shù)，設(shè)至少需要個(gè)月才能更新完畢，

     個(gè)月更新的車(chē)輛總數(shù)，

     即，由參數(shù)數(shù)據(jù)可得

     故以此速度進(jìn)行更新，至少需要37個(gè)月才能更新完該市所有的出租車(chē)

18．解（I），為等腰直角三角形，

   （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

    設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

    則有  得

    平面的一個(gè)法向量

    而的一個(gè)法向量

    平面與平面所成的角的余弦值

   （Ⅲ），

    設(shè)平面的法向量為，則有

    平面的一個(gè)法向量為

     若要使得面，則要，即

     解得， 當(dāng)時(shí)，  面

19．解法一：

   （I）設(shè)橢圓方程為，由題意知

    故橢圓方程為

   （Ⅱ）由（I）得，所以，設(shè)的方程為（）

    代入，得

    設(shè)則

    由，

    當(dāng)時(shí)，有成立。

   （Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。

     依題意知，直線BC的方程為，

     令，則

     的方程為、在直線上，

     在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。

     解法二：（I）同解法一。

    （Ⅱ）由（I）得，所以。

     設(shè)的方程為

     代入，得

     設(shè)則

     當(dāng)時(shí)，有成立。

    （Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。

     設(shè)存在使得、、三點(diǎn)共線，則，

     ，

     即

     ，。

     所以，存在，使得、、三點(diǎn)共線。

20．解：（I）

    當(dāng)時(shí)，

    由或。

x

(0,1)

1

+

―

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

    時(shí)，，無(wú)極小值。

   （Ⅱ）存在單調(diào)遞減區(qū)間，

    在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解。

    若，則，在單調(diào)遞增，不存在單調(diào)遞減區(qū)間；

    若，則函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，且恒過(guò)點(diǎn)（0，1），要

使在內(nèi)有解，則應(yīng)有

或，由于，；

若，則函數(shù)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，且恒過(guò)點(diǎn)（0，1），

在內(nèi)一定有解。

綜上，或。

   （Ⅲ）依題意：，假設(shè)結(jié)論不成立，

則有

①―②，得

  由③得，

即

設(shè)，則，

令

，在（0，1）上為增函數(shù)。