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為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數為8．
（Ⅰ）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（Ⅱ）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（Ⅲ）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率．

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為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖3所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.

（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.

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一、選擇題：本題考查基礎的知識和基本運算，每題5分，滿分60分。

1 C  2 C  3 D  4 B  5 B  6 C  7 A  8 D  9 A  10 C  11 C  12D

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算。每題4分，滿分16分。

    13．1    14．4     15．3  16．9+10+11，4+5+6+7+8，6+7+8+9（選對其中兩個即可）

三、解答題:本題共6大題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．本題主要考查三角函數的圖像和性質，以及三角變換的知識，考查運算求解能力。

解：（I）由圖象知

    將代入得

    因為，所以

   所以

（II）因為所以

  ，

18．本題考查樣本估計總體，古典概型，頻率分布直方圖等知識，考查數據處理能力和分析問題、解決問題的能力。

 解：（I）百米成績在內的頻率為0.32

        0.32

     估計該年段學生中百米成績在內的人數為320人。

    （II）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x,8x,19x依題意，得

        ,

     設調查中隨機抽取了n個學生的百米成績，則

     調查中隨機抽取了50個學生的百米成績。

     （III）百米成績在第一組的學生數有，記他們的成績?yōu)?sub>

    百米成績在第五組的學生數由，記他們的成績?yōu)?sub>

     則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有

   其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有

    所以

19．本題主要考查線面平行與垂直關系，及多面體的體積計算等基礎知識，考察空間想象能力、抽象概括能力和運算求解能力。

（I）證明：取的重點P，連已知M為CB中點，，且

  由三視圖可知，四邊形為直角梯形，

 ，四邊形ANPM為平行四邊形，，

 又平面平面，平面

（II）該幾何體的正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，

 兩兩垂直

 與BA相交于B，

 平面，BC為三棱錐的高

 取的重點，連，四邊形的直角梯形且

 ，四邊形ABQN為正方形，，

又  平面，平面，

且與相交于B，平面

為四棱錐的體積

20．本題主要考查數列的該概念、等差數列、等比數列的通項及前n項和等基礎知識，考察推理論證能力、函數與方程思想以及分類與整合思想

   解：（I）時，

       時，

      不是等比數列

      （II），

     所以當時有：

     當時有：；

     的最小值為

      （注：作商比較也可）

21．本題主要考查直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考察運算求解能力及化歸與轉換和數形結合思想。

    解：（I）由題意橢圓的長軸，

       在橢圓上，

       橢圓的方程為

   （II）由直線l與圓O相切得

    設，由消去，整理得

   由題可知圓O在橢圓內，所以直線必與橢圓相交，

的值為

22．本題主要考查函數與倒數的基本知識及綜合應用知識的能力，考察分類與整合思想、化歸與轉換思想，考察分析問題和解決問題的能力。

解：（I）由已知得，

    函數的單調遞減區(qū)間是（1，2），的解是

   的兩個根本分別是1和2，且

   從且，可得

   又得

（II）由（I）得，

時，在上是增函數，

對當x=2時，

要使在上有解，

即

既對任意恒成立，

即對任意恒成立，

設，則

令得或

在的符號與德單調情況如下表：

m

（0，1）

1

（1，2）

-

0

+

æ

極小值

ä

時，