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如圖，已知A、B是單位圓O上的點，C是圓與x軸正半軸的交點，點A的坐標為(

3

5

，

4

5

)，點B在第二象限，且△AOB為正三角形．
（Ⅰ）求sin∠COA；     
（Ⅱ）求△BOC的面積．

已知雙曲線C的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），離心率e=

5

2

，頂點到漸近線的距離為

2 5

5

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若

AP

=λ

PB

，λ∈[

1

3

，2]，求△AOB面積的取值范圍．

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與軸交于兩點，為⊙O₁的切線，切點為，且在第一象限，圓心的坐標為，二次函數的圖象經過兩點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求切線的函數解析式；

（3）線段上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似．若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖所示，已知二次函數y=-x²+9，矩形ABOC的頂點A在第一象限內，且A在拋物線上，頂點B、C分別在y軸、x軸上，設點A的坐標為（x，y）．
（1）試求矩形ABOC的面積S關于x的函數解析式S=S（x），并求出該函數的定義域；
（2）是否存在這樣的矩形ABOC，使它的面積為6，并證明你的結論．