Question

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與軸交于兩點，為⊙O₁的切線，切點為，且在第一象限，圓心的坐標為，二次函數的圖象經過兩點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求切線的函數解析式；

（3）線段上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似．若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）圓心的坐標為，⊙O₁半徑為1，，……1分

二次函數的圖象經過點，可得方程組  ……2分

解得：二次函數解析式為        ………………4分

（2）由題意易知所求直線的斜率存在且大于0，設切線為

由點到直線的距離，可得                   ………………6分

解得或（舍去）切線的函數解析式為…………8分

（3）存在．

①過點作軸，與交于點．可得

則由，解得          ………………11分

②過點作，垂足為， 可得

則由，解得           

符合條件的點坐標有，          ………………14分