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已知函數(shù)f(x)=ax+

b

x

（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），(2，

5

2

)兩點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若不等式

4a

3

-2a≥f(x)對任意的x∈[

1

2

，3]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

已知函數(shù)f(x)=ax2+

x

e

-lnx（其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）任取兩個不等的正數(shù)x₁、x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，求：a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時，求證：f（x）=0沒有實(shí)數(shù)解．

已知函數(shù)f(x)=ax+

2

x

+6，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）已知a=

3

4

，P₁，P₂是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)，若在點(diǎn)P₁，P₂處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值；
（3）設(shè)定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=s（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=t（x），當(dāng)x≠x₀時，若

s(x)-t(x)

x-x0

＞0在D上恒成立，則稱點(diǎn)P為函數(shù)y=s（x）的“好點(diǎn)”．試問函數(shù)g（x）=x²f（x）是否存在“好點(diǎn)”．若存在，請求出所有“好點(diǎn)”坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f(x)=2(ln

1+x

+

1

2

x2)-ax，其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：D

n

k=2

k-1

k2

＜ln

n+1

2

．