Question

已知函數(shù)f(x)=ax2+

x

e

-lnx（其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）任取兩個不等的正數(shù)x₁、x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，求：a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時，求證：f（x）=0沒有實數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）先求f'（x）=2ax+

1

e

-

1

x

，再由：“

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0”得出“f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立”，最后轉(zhuǎn)化為最值法求解．
（2）令g（x）=ax+

1

e

（x＞0），h（x）=

lnx

x

（x＞0），當(dāng)a＞0時，f（x）＞

1

e

，h′（x）=

1-lnx

2

，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上為增函數(shù)，（e，+∞）上為減函數(shù)，從而得出h（x）最大值，最終得到即ax2+

x

e

-lnx＞0恒成立從而f（x）=0無解．

解答：解：(1)f′(x)=2ax+

1

e

-

1

x

(x＞0)…(2分)，
由條件f′(x)=

2aex2+x-e

ex

≤0恒成立…(4分)，
∴2ae≤

e-x

x2

…(6分)，
∵

e-x

x2

=e(

1

x

-

1

2e

)-

1

4e

≥-

1

4e

∴2ae≤-

1

4e

，
∴a≤-

1

8e2

…(8分)．
（2）令g（x）=ax+

1

e

（x＞0），h（x）=

lnx

x

（x＞0），當(dāng)a＞0時，f（x）＞

1

e

，h′（x）=

1-lnx

2

，令h′（x）＞0，則x∈（0，e），
故h（x）在（0，e）上為增函數(shù)，（e，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）最大值為：h（e）=

1

e

，
∴x＞0時，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+

1

e

＞

lnx

x

，
即ax2+

x

e

-lnx＞0恒成立，
∴f（x）=0無解．

點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題、用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．