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在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計(jì)20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線(xiàn)．
B、設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線(xiàn)的方程．
C、已知某圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程化為普通方程；并選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù)寫(xiě)出它的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3，過(guò)C作圓的切線(xiàn)l，過(guò)A作l的垂線(xiàn)AD，AD分別與直線(xiàn)l、圓交于點(diǎn)D、E．求∠DAC的度數(shù)與線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．
B．已知二階矩陣A=

2 a b 0

屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為

1 -3

，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線(xiàn)C上點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離的最大值．
D．（1）設(shè)x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過(guò)點(diǎn)M且不過(guò)圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=[

1 1

]，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為p=2

2

sin（θ-

π

4

），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)），求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C所截得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，CP是圓O的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，直線(xiàn)CO交圓O于A，B兩點(diǎn)，AD⊥CP，垂足為D．
求證：∠DAP=∠BAP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a＞0，b＞0，若矩陣A=

.

a 0 0 b

.

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線(xiàn)l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦長(zhǎng)為2

3

求實(shí)數(shù)a的值．
D．選修4-5：不等式選講已知a，b是正數(shù)，求證：a²+4b²+

1

ab

≥4．

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一、填空

1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；

10、；11、；12、；13、；14、。

二、解答題

   1`5、（本題滿(mǎn)分14分）

解：（1）（設(shè)“該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的”為事件A，則事件A的概率

（2）設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的”為事件B，則事件B的概率為

答：（略）

16、（本題滿(mǎn)分14分）

解：（1）連，四邊形菱形   ，

  為的中點(diǎn)，

又

               ，

（2）當(dāng)時(shí)，使得，連交于，交于，則為 的中點(diǎn)，又為邊上中線(xiàn)，為正三角形的中心，令菱形的邊長(zhǎng)為，則，。

   即：   。

17、解：

（1）

          ，

        在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>

     （2）    ，

           ，

18、解：（1）依題意，得：，。

          拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為：

      （2）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為。

        圓心在軸上截得的弦長(zhǎng)為

        圓心的方程為：

      從而變?yōu)椋?sub>      ①

對(duì)于任意的，方程①均成立。

故有：     解得：

      所以，圓過(guò)定點(diǎn)（2，0）。

19、解（1）當(dāng)時(shí)，

         令  得 所以切點(diǎn)為（1，2），切線(xiàn)的斜率為1，

      所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為：。

   （2）①當(dāng)時(shí)，，

      ，恒成立。 在上增函數(shù)。

故當(dāng)時(shí)，

②  當(dāng)時(shí)，，

（）

（i）當(dāng)即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)

(ii)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在間 時(shí)為正數(shù)。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)

(iii)當(dāng)；即 時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在時(shí)和時(shí)的最小值都是。

所以此時(shí)的最小值為；當(dāng)時(shí)，在時(shí)的最小值為

，而，

所以此時(shí)的最小值為。

當(dāng)時(shí)，在時(shí)最小值為，在時(shí)的最小值為，

而，所以此時(shí)的最小值為

所以函數(shù)的最小值為

20、解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，

     依題得：，對(duì)恒成立。

即：，對(duì)恒成立。

所以，即：或

，故的值為2。

（2）

  所以，

①     當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，。

  相乘得所以 當(dāng)也符合。

②     當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，，

相乘得所以

，所以 。因此 ，當(dāng)時(shí)也符合。

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，

所以 

南京市2009屆高三第一次調(diào)研試

數(shù)學(xué)附加題參考答案

21、選做題

     .選修：幾何證明選講

 證明：因?yàn)?sub>切⊙O于點(diǎn)，所以

       因?yàn)?sub>，所以

  又A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以 所以

 又，所以∽

所以   即

所以    即：

B.選修4-2：矩陣與變換

解:由題設(shè)得,設(shè)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn),

點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?sub>,

則有, 即 ,所以

因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上,從而,即：

所以曲線(xiàn)的方程為 

C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解： 直線(xiàn)的參數(shù)方程為 為參數(shù)）故直線(xiàn)的普通方程為

   因?yàn)?sub>為橢圓上任意點(diǎn)，故可設(shè)其中。

  因此點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是

所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值。

D．選修4-5：不等式選講

證明：，所以 

必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。

22、解：（1）設(shè)圓的半徑為。

         因?yàn)閳A與圓，所以

         所以，即：

        所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為其中 ，所以

      所以曲線(xiàn)的方程

    （2）因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)橢圓的中心，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，

        因?yàn)?sub>，所以。

       不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，則。

所以，，即：點(diǎn)的坐標(biāo)為或

所以直線(xiàn)的斜率為，故所求直線(xiàn)方和程為

23、（1）當(dāng)