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（文科）長(zhǎng)方體中，，，是底面對(duì)角線的交點(diǎn).

(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求證：平面；
(Ⅲ) 求三棱錐的體積。

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一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)  

1．D   2．B   3．C   4．C   5．D   6．B   7．C   8．A   9．C   10．B

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

11．    12．4     13．70，10，32    14．     15．

三、解答題(本大題共6小題，共80分)

16．(本小題滿分12分)

    解：（Ⅰ）…………………………………2分

    ……………………………………………………3分

    ………………………………………………………5分

∴函數(shù)的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，………………………………………8分

∴………………………………………………………………10分

∴的值域是………………………………………………………12分

17．(本小題滿分12分)

解：設(shè)：用、、分別表示3枚鑰匙，其中是房門鑰匙，則這個(gè)隨機(jī)事件可看作是三枚鑰匙的一個(gè)排序，它包含了：、、、、、共6個(gè)基本事件；………………………………4分

(Ⅰ)設(shè)：用表示事件“恰好第三次打開房門鎖”，則事件包括、共兩個(gè)基本事件：……………………………………………………………………6分

 …………………………………………………………………………8分

(Ⅱ)設(shè)：用表示事件“兩次內(nèi)打開房門鎖”，則事件包含：、、、共4個(gè)基本事件：………………………………………………………10分

答：恰好第三次打開房門鎖的概率是，兩次內(nèi)打開的概率是．  ……………12分

18．(本小題滿分14分)

(Ⅰ) 證明：依題意：，且在平面外．……………………2分

∴平面…………………………………………………………………4分

(Ⅱ) 證明：連結(jié)

∵                 

∴平面…………5分

又∵在上，∴在平面上

∴…………………………6分

∵ ∴

∴

∴中，………………………………………7分

同理：

∵中，

∴………………………………………………………………………8分

∴平面……………………………………………………………10分

(Ⅲ)解：∵平面

∴所求體積……………………………………………12分

…………………………………………14分

19．(本小題滿分14分)

解：(Ⅰ) 根據(jù)題意，得

………………………………………………………3分

解得……………………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)

∴……………………10分

∴………………14分

20．(本小題滿分14分)

解：(Ⅰ) 依題意：．  ……………………………………………………2分

∴   ∴所求方程為．  ……………………………………………4分

(Ⅱ)設(shè)動(dòng)圓圓心為，（其中），、的坐標(biāo)分別為，

因?yàn)閳A過，故設(shè)圓的方程……………6分

∵、是圓和軸的交點(diǎn)

∴令得：…………………………………………………8分

則，

…………………10分

又∵圓心在拋物線上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴當(dāng)時(shí)，(定值)．  ……………………………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解：由函數(shù)得，………………3分

(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)

，

即．  …………………………………………………7分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立．……………………………………………………………………………8分

當(dāng)時(shí)，顯然成立。    …………………………………9分

當(dāng)，

∵的最小值是．

∴．

從而解得  …………………………………………………………………1分

當(dāng)，

∵的最大值是，∴，

從而解得．  ………………………………………………………………13分

綜上可得，從而 ………………………………14分

如上各題若有其它解法，請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分．