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如圖，已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，E是AB的中點(diǎn)，AB=kAA₁，其中k為非零實(shí)數(shù)，
（1）求證：A₁E∥平面PBC；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A₁B₁上，且

（1）證明：無(wú)論取何值，總有AM⊥PN；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線PN與平面ABC所成角的正切值.

 

已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1,0）和（1,0）

(1)求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如果直線與這個(gè)橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍．

（3）若（2）中，求該直線與此橢圓相交所得弦長(zhǎng)．

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．