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        1. 又函數(shù)在處取得極值2. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知函數(shù)處取得極值2.

          ⑴ 求函數(shù)的解析式;

          ⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

          【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)

          又f(x)在x=1處取得極值2,所以,

          所以

          第二問中,

          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131543901356936_ST.files/image008.png">,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有,得

          解:⑴ 求導(dǎo),又f(x)在x=1處取得極值2,所以,即,所以…………6分

          ⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131543901356936_ST.files/image008.png">,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有,得,                …………9分

          當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞減,則有 

                                                          …………12分

          .綜上所述,當(dāng)時(shí),f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞減;則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

           

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          已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; 

          (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

          (Ⅲ)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.

          【解析】第一問當(dāng)時(shí),,則。

          依題意得:,即    解得

          第二問當(dāng)時(shí),,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

          第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          (Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則。

          依題意得:,即    解得

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

          ①當(dāng)時(shí),,令

          當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調(diào)遞減

          極小值

          單調(diào)遞增

          極大值

          單調(diào)遞減

          ,!上的最大值為2.

          ②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0;

          當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增!最大值為。

          綜上,當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為2;

          當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為。

          (Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          ,則代入(*)式得:

          ,而此方程無解,因此。此時(shí),

          代入(*)式得:    即   (**)

           ,則

          上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

          ∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

          因此,對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

           

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          已知函數(shù),.

          (Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;

          (Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

          【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。

          第二問中,利用存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。

          解:(1)

          (2)不等式 ,即,即.

          轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對任意的,不等式恒成立.

          即不等式上恒成立.

          即不等式上恒成立.

          設(shè),則.

          設(shè),則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">,有.

          在區(qū)間上是減函數(shù)。又

          故存在,使得.

          當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有.

          從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.

          [來源:]

          所以當(dāng)時(shí),恒有;當(dāng)時(shí),恒有;

          故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

           

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          已知函數(shù)(bc為常數(shù)).

          (1)若處取得極值,試求的值;

          (2)若上單調(diào)遞增,且在上單調(diào)遞減,又滿足,求證:

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          已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

          (1)求f(x)的解析式;

          (2)若過點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

          【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

          (2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

          然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

          解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

          依題意

          又f′(0)=-3

          ∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

          (2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),

          ∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

          ∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

          又切線過點(diǎn)A(2,m)

          ∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

          ∴m=-2x03+6x02-6

          令g(x)=-2x3+6x2-6

          則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

          由g′(x)=0得x=0或x=2

          ∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

          ∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

          畫出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,

          所以m的取值范圍是(-6,2).

           

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