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(14分)已知函數(shù)的定義域是∈R,Z},且,,當(dāng)時,.

(1)求證:是奇函數(shù);

(2)求在區(qū)間Z)上的解析式;

(3)是否存在正整數(shù)k,使得當(dāng)x∈時,不等式有解?證明你的結(jié)論.

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(14分)在數(shù)列中，，.

(1)試比較與的大小關(guān)系；

(2)證明：當(dāng)≥時，.

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(14分) 已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象與直線y=x相切.

（1）求的解析式

（2）若函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù)，那么：

①求k的取值范圍；

②是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n，使得在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由.

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一、選擇題（每題5分共50分）

1．D            2．A            3．Ｂ           4．C            5．C           

6．Ｃ       7．Ｂ        8．Ｃ    9．C    10．D

二、填空題（每題5分共20分）

       11．          12．                 13．                  

14．（0，2），               15．3

三、解答題（共80分）

16．解：（Ⅰ）由已知得：，  

又是△ABC的內(nèi)角，所以．    

（2）由正弦定理：，

又因?yàn)?sub>，，又是△ABC的內(nèi)角，所以．

17．證明：連結(jié)AB，A₁D，在正方形中，A₁B=A₁D，O是BD中點(diǎn)，

∴A₁O⊥BD；                 

連結(jié)OM，A₁M，A₁C₁，設(shè)AB=a，則AA₁=a，MC=a=MC₁

OA=OC=a，AC=a，

∴A₁O²=A₁A²+AO²=a²+a²=a²，OM²=OC²+MC²=a²，A₁M²=A₁C₁²+MC₁²=2a²+a²=a²,∴A₁M²=A₁O²+OM²，

∴A₁O⊥OM，  

∴AO₁⊥平面MBD

18解：（Ⅰ），

因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，．

所以，當(dāng)時，取得極大值，又，．

則當(dāng)時，的最大值為．

因?yàn)閷τ谌我獾?sub>，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范圍為．

19．解（Ⅰ）由題意知，　　　  

當(dāng)n≥2時，，，

兩式相減得

整理得：   　

∴數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

∴　　　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴b_n=n　　

， …………①

， …………②

①－②得

， 　　

∴， 　　　

∴， 　　

20．解：設(shè)這臺機(jī)器最佳使用年限是n年,則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費(fèi)用為：

，

等號當(dāng)且僅當(dāng)

答：這臺機(jī)器最佳使用年限是12年，年平均費(fèi)用的最小值為1.55萬元．

21．⑴c=2, a=3 雙曲線的方程為

⑵ 得 (1?3k²)x²?6kx?9=0

  x₁＋x₂= , x₁x₂=

由△>0 得 k²<1

  由= x₁x₂＋y₁y₂=(1＋k²) x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋2>2得 <k²<3

  所以，<k²<1

即k∈(?1, )∪( , 1 )

附加題

(1)證明：先將變形：,

當(dāng)，即時，∴恒成立，

故的定義域?yàn)?sub>。                                     

反之，若對所有實(shí)數(shù)都有意義，則只須。

令，即，解得，故。  

(2)解析：設(shè)，

∵是增函數(shù)，

∴當(dāng)最小時，最小。

而，                               

 顯然，當(dāng)時，取最小值為，

此時為最小值。                      

(3)證明：當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立。                                  

∴。