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已知（m＞0，n＞0），當(dāng)mn取得最小值時(shí)，直線y=-x+2與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為    ．

已知△AOB的頂點(diǎn)A在射線l1：y=

3

x(x＞0)上，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且線段AB上有一點(diǎn)M滿足|AM|•|MB|=3．當(dāng)點(diǎn)A在l₁上移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設(shè)N（2，0），過N的直線l與W相交于P、Q兩點(diǎn)．求證：不存在直線l，使得

OP

•

OQ

=1．

已知點(diǎn)(1，

1

3

)是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列b_n（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足：Sn-Sn-1=

Sn

 + 

Sn-1

(n≥ 2)．記數(shù)列{

1

bnbn+1

}前n項(xiàng)和為T_n，
（1）求數(shù)列a_n和b_n的通項(xiàng)公式；
（2）若對任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t2-2mt+

1

2

＞Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

已知二次函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設(shè)函數(shù)f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數(shù)
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并且說明理由；
（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．