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（2010•上海模擬）對于函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點A（a，f（a）），B（b，f（b）），設(shè)點C分

AB

的比為λ（λ＞0）．若函數(shù)為f（x）=x²（x＞0），則直線AB必在曲線AB的上方，且由圖象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．若函數(shù)為f（x）=log₂₀₁₀x，請分析該函數(shù)的圖象特征，上述不等式可以得到不等式．

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）為f'（x）的導(dǎo)數(shù)即f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)y=f（x） 在（a，b）內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，則稱函數(shù)y=f（x）是（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)（有時亦稱為凹函數(shù)）．已知函數(shù)f（x）=xlnx
（1）證明函數(shù)f（x）=xlnx是定義域內(nèi)的下凸函數(shù)，并在所給直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據(jù)所畫下凸函數(shù)f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關(guān)系；
（3）當(dāng)n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N （n）表示n的最大奇因數(shù)．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，證明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．

對于函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點A（a，f（a）），B（b，f（b）），設(shè)點C分

AB

的比為λ（λ＞0）．若函數(shù)為f（x）=x²（x＞0），則直線AB必在曲線AB的上方，且由圖象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．若函數(shù)為f（x）=log₂₀₁₀x，請分析該函數(shù)的圖象特征，上述不等式可以得到不等式______．