題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
, 其中
.
（1）當(dāng)
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）當(dāng)
時，求曲線的單調(diào)區(qū)間與極值.
【解析】第一問中利用當(dāng)時，
，
，得到切線方程
第二問中，
對a分情況討論，確定單調(diào)性和極值問題。
解: (1) 當(dāng)時，，
………………………….2分
切線方程為: 
…………………………..5分
(2)
…….7
分
分類: 當(dāng)
時, 很顯然
的單調(diào)增區(qū)間為: 
單調(diào)減區(qū)間: 
,
, 
………… 11分
當(dāng)
時的單調(diào)減區(qū)間: 
單調(diào)增區(qū)間: 
,
,
【解析】D.當(dāng)
時，顯然
；當(dāng)
時，
，所以選D.
當(dāng)0<x≤
時，4x<logax，則a的取值范圍是
（A）(0，
)
（B）(，1) （C）(1，
) （D）(，2)
【解析】當(dāng)
時，顯然不成立.若
時
當(dāng)
時，
，此時對數(shù)
，解得
，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，要使
在
時恒成立，則有
，如圖選B.
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時，，令得
當(dāng)
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時, 
.當(dāng)
時, 
,最大值為0；
當(dāng)
時, 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
已知
是公差為d的等差數(shù)列，
是公比為q的等比數(shù)列
（Ⅰ）若 
，是否存在
，有
？請說明理由；
（Ⅱ）若
（a、q為常數(shù)，且aq
0）對任意m存在k，有
，試求a、q滿足的充要條件；
（Ⅲ）若
試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個連續(xù)p項的和式數(shù)列中的一項，請證明.
【解析】第一問中，由
得
，整理后，可得
、
，
為整數(shù)
不存在
、
，使等式成立。
（2）中當(dāng)
時，則
即
，其中
是大于等于
的整數(shù)
反之當(dāng)時，其中是大于等于的整數(shù)，則
，
顯然
，其中
、
滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)
（3）中設(shè)
當(dāng)
為偶數(shù)時，
式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)時，式不成立。由式得
，整理
當(dāng)
時，符合題意。當(dāng)
，為奇數(shù)時，
結(jié)合二項式定理得到結(jié)論。
解（1）由得，整理后，可得、，為整數(shù)不存在、，使等式成立。
（2）當(dāng)時，則即，其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時，其中是大于等于的整數(shù)，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)
（3）設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時，式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)時，式不成立。由式得，整理
當(dāng)時，符合題意。當(dāng)，為奇數(shù)時，
由，得
當(dāng)為奇數(shù)時，此時，一定有
和
使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時，命題都成立
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單調(diào)遞減