如果一個點(diǎn)能與另外兩個點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個點(diǎn)為另外兩個點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個數(shù)為

3

3

個；
（2）如圖1，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．過點(diǎn)P作直線l平行于BC，點(diǎn)H為M、N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上，求PH的長；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，將紙片折疊，折痕分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G，若A、E兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)M，求折痕FG的長．

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概念理解
把一個或幾個圖形分割后，不重疊、無縫隙的重新拼成另一個圖形的過程叫做“剖分--重拼”．如圖1，一個梯形可以剖分--重拼為一個三角形；如圖2，任意兩個正方形可以剖分--重拼為一個正方形．
嘗試操作
如圖3，把三角形剖分--重拼為一個矩形．（只要畫出示意圖，不需說明操作步驟）

閱讀解釋
如何把一個矩形ABCD（如圖4）剖分--重拼為一個正方形呢？操作如下：
①畫輔助圖．作射線OX，在射線OX上截取OM=AB，MN=BC．以O(shè)N為直徑作半圓，過點(diǎn)M作MI⊥射線OX，與半圓交于點(diǎn)I；
②圖4中，在CD上取點(diǎn)F，使AF=MI，作BE⊥AF，垂足為E．把△ADF沿射線DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射線AF平移到△FGH的位置，得四邊形EBHG．
請說明按照上述操作方法得到的四邊形EBHG是正方形．

拓展延伸
任意一個多邊形是否可以通過若干次的剖分--重拼成一個正方形？如果可以，請簡述操作步驟；如果不可以，請說明理由．

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一、選擇題

1. B；  2. B；  3. B；  4. C；  5. A； 6. C.

二、填空題

7. x≥―1且x≠2；  8. 9；   9.  97；  10. 答案不唯一,如等； 

11. 略；  12. ； 13.  6，150；  14.  4； 15. .

三、解答題

16.原式=    ------------------------------4分

= -- --------------------------------------------------------------6分

= .-----------------------------------------------------------------------------7分

17.(1) 證明：在中，--2分

∵分別是的中點(diǎn)，∴.   ∴.---------4分

(2) 四邊形是矩形.

證明：∵四邊形是菱形，∴.      ----------------5分

∴.     -----------------------------------------------------------------------6分

∵ ∴四邊形是平行四邊形.        ------------- 7分

∴四邊形是矩形.     ------------------------------------------------------------- 8分

18.解：過作，垂足為，   ----------------------------------------1分

在中，∴   ----------------------3分

在中， ，∴    ------------------5分

∴         ------------------------------------6分

               --------------------8分

19.（1）證明：在等腰梯形中，，

∴        --------------------------------------------------1分

∵，，

∴ ∴.                      -------------3分

(2) 解：過分別作，垂足分別為.

∴       --------------------------------------------------------------------5分

∵，  ∴              ----------------------------------------------6分

∵，∴          ------------------------------------------------------7分

(2)  解：存在.

由（1）知.∴.   -----------------------------------------8分

∵,∴.          ---------------------------------------9分

解得：或        --------------------------------------------------------10分

20.解：（1）原來一天可獲得的利潤為 （元）-------2分

(2). ① 由題意,得.

即.                              ------------------4分

.                           ----------------------------------------------- 5分

② 當(dāng)時,. ----------------------------6分

解這個方程,得.  ----------------------------------------------------------------8分

 答:出售單價是77元或73元. ----------------------------------------------------------------9分

 73元77元.                             ----------------------- 10分

21.解：（1）列表格如下：

（）

1

2

3

4

5

6

1

（1,1）

（1,2）

（1,3）

（1,4）

（1,5）

（1,6）

2

（2,1）

（2,2）

（2,3）

（2,4）

（2,5）

（2,6）

3

（3,1）

（3,2）

（3,3）

（3,4）

（3,5）

（3,6）

4

（4,1）

（4,2）

（4,3）

（4,4）

（4,5）

（4,6）

----------------------------------------5分

⑵由函數(shù)解析式可知：只有點(diǎn)（1，4）和（3，1）在其圖像上，所以，甲獲勝的概率是，即平均每12次才獲勝1次，得10分；而乙獲勝的概率是，即平均每12次獲勝11次，得11分，所以我愿意當(dāng)乙.--------------------- 10分

22.(1) 四邊形是平行四邊形.            ------------------------------1分

證明:.又,.又.

四邊形是平行四邊形.    -----------------------------------4分

(2) 是的重心,.    ---------------------------5分

由(1)的證明過程,可知和分別是邊長為和的正三角形.

點(diǎn)到的距離為.即. -----------------8分,時, 四邊形的面積有最大值是.

此時,與重合,, 四邊形是菱形. -------------------------11分

23.解：⑴過點(diǎn)作軸,垂足為,由垂徑定理,得是的中點(diǎn),

.與軸相切于在中,

點(diǎn)的坐標(biāo)是.            -----------------2分

設(shè)的解析式為.將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得解得所在直線的解析式為         --------------------- 4分

(2) ∵，∴連結(jié).

∵，∴          -----------------------6分

∴∵是直徑，∴

∴         -------------------------------------------------------------------8分

(3) 判斷：不存在.      ----------------------------------------------------------------- 9分

假設(shè)存在點(diǎn),使為等邊三角形.則.連結(jié),那么.,利用的面積,可得,不與重合, .這與等邊三角形定義矛盾.

假設(shè)不成立.即點(diǎn)不存在. ----------------------------------------------------------- 12分-