題目列表(包括答案和解析)
數(shù)列
的前
項和為
；數(shù)列
中，
，且對任意
，
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）設(shè)
，數(shù)列
的前項和為
，求
。
（14分）設(shè)數(shù)列
的前
項和為
。
（I）求證：
是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)
是數(shù)列
的前項和，求；
（Ⅲ）求使
對所有的
恒成立的整數(shù)
的取值集合。
（14分）設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，且
；數(shù)列
為等差數(shù)列，且
。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若
為數(shù)列
的前項和，求證：
。
設(shè)數(shù)列
的前
項和為
已知
（I）設(shè)
，證明數(shù)列
是等比數(shù)列
（II）求數(shù)列的通項公式。
設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，對任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。 
（I）求數(shù)列與數(shù)列
的通項公式；
（II）設(shè)數(shù)列的前項和為
，是否存在正整數(shù)
，使得
成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；
（III）記
，設(shè)數(shù)列
的前項和為
，求證：對任意正整數(shù)都有
；
1．解析：
，故選A。
2．解析：抽取回族學(xué)生人數(shù)是
，故選B。
3．解析：由
，得
，此時
，所以，
，故選C。
4．解析：∵
∥
，∴
，∴
，故選C。
5．解析：設(shè)公差為
，由題意得，
；
，解得
或
，故選C。
6．解析：∵雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴雙曲線的漸近線方程是
,故選D.
7.解析：∵
、
為正實數(shù)，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因為函數(shù)
在
是增函數(shù)，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵
，∴
在區(qū)間
上恒成立，即
在區(qū)間上恒成立，∴
，故選D。
9．解析：∵
，∴此函數(shù)的最小正周期是
，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形
的邊長為
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故選D。
11．解析：∵
在區(qū)間
上是增函數(shù)且
，∴其反函數(shù)
在區(qū)間上
是增函數(shù)，∴
，故選A
12．解析：如圖，①當(dāng)
或
時，圓面
被分成2塊，涂色方法有20種；②當(dāng)
或
時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當(dāng)
時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是
，故選A。
13．解析：將
代入
結(jié)果為
，∴
時，
表示直線
右側(cè)區(qū)域，反之，若表示直線右側(cè)區(qū)域，則
，∴是充分不必要條件。
14.解析：∵
，∴
時，
，又
時，
滿足上式，因此，
。
15．解析：設(shè)正四面體的棱長為，連
，取的中點
，連
，∵
為
的中點，∴
∥，∴
或其補角為與
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴與所成角的余弦值為
。
16．解析：∵
，∴
，∵點
為
的準(zhǔn)線與
軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點
為拋物線上關(guān)于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中
為點
到準(zhǔn)線的距離，四邊形
為菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
與
的夾角為
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為
，∴學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為
，∴學(xué)生甲被評為三好學(xué)生的概率為
�！�12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，
，
，……………3分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴
，
又
，∴數(shù)列
自第2項起是公比為
的等比數(shù)列，………………………6分
∴
，………………………8分
（Ⅲ）∵
，∴
，………………10分
∴
�！�12分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
�！�4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
為二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小為
�！�8分
（Ⅲ）過點
做
∥，交于點，∵平面，∴
為在平面內(nèi)的射影，∴
為與平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為
。………………………12分
解法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）∵，
，∴點
的坐標(biāo)分別是
，
，
，∴
，
，設(shè)
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴�！�4分
（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小為�！�8分
（Ⅲ）設(shè)與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴與平面所成角的正切值為�！�12分
21.解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，將
代入方程得
所以拋物線方程為
�！�2分
由題意知橢圓的焦點為
、
。
設(shè)橢圓的方程為
，
∵過點，∴
，解得，
，
，
∴橢圓的方程為
�！�5分
（Ⅱ）設(shè)
的中點為，
的方程為：
，
以為直徑的圓交于
兩點，中點為
。
設(shè)
，則
∵
………………………8分
∴
………………………10分
當(dāng)
時，
，
，
此時，直線的方程為
�！�12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
是偶函數(shù)，∴
，
又∵
∴
，
，………………………2分
由
得，
，
∵
時，
；
時，
；
時，；∴
時，函數(shù)
取得極大值
，
時，函數(shù)取得極小值
。………………………5分
（Ⅱ）∵
在區(qū)間
上為增函數(shù)，∴
在上恒成立，∴
且
在區(qū)間
上恒成立，………………………7分
∴
∴
……………………9分
又∵
=
，∵
∴
，∴
的取值范圍是
�！�12分
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