題目列表(包括答案和解析)
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已知四棱錐
的底面為直角梯形，
，
底面
，且
，
，
是
的中點。
（1）證明：面
面
；
（2）求
與所成的角；
（3）求面
與面
所成二面角的余弦值．
【解析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)，證明CD⊥平面PAD．
（2）建立空間直角坐標系，寫出向量與的坐標，然后由向量的夾角公式求得余弦值，從而得所成角的大小.
（3）分別求出平面
的法向量和面
的一個法向量，然后求出兩法向量的夾角即可．
如圖，在三棱錐
中，平面
平面
，
，
，
，
為
中點．（Ⅰ）求點B到平面
的距離；（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
【解析】第一問中利用因為
，為中點，所以
而平面平面，所以
平面，再由題設(shè)條件知道可以分別以
、
、
為
，
，
軸建立直角坐標系得
，
，
，
，
，
，
故平面的法向量
而
，故點B到平面的距離
第二問中，由已知得平面
的法向量
，平面的法向量
故二面角的余弦值等于
解：（Ⅰ）因為，為中點，所以
而平面平面，所以平面，
再由題設(shè)條件知道可以分別以、、為，，
軸建立直角坐標系，得，，，，
，，故平面的法向量
而，故點B到平面的距離
（Ⅱ）由已知得平面的法向量，平面的法向量
故二面角的余弦值等于
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與
所成角φ的余弦值
的正弦值