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若橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，1），離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為

1

3

，求直線x-

2

y+

3

=0被點(diǎn)P所在的曲線C₂截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅱ） 設(shè)A₁，A₂分別為橢圓C₁的左、右頂點(diǎn)，Q為C₁上異于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，直線A₁Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)M，直線A₂Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)N，求證MF₂⊥NF₂．

若橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，1），離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為

1

3

，求直線x-

2

y+

3

=0被點(diǎn)P所在的曲線C₂截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅱ） 設(shè)A₁，A₂分別為橢圓C₁的左、右頂點(diǎn)，Q為C₁上異于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，直線A₁Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)M，直線A₂Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)N，求證MF₂⊥NF₂．

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2，過F₁作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦|PQ|，其長(zhǎng)度為3．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．判斷是否存在直線l使得∠AF₂B為鈍角，若存在，求出l的斜率k的取值范圍．

橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）和F₂（1，0），若該橢圓C與直線x+y-3=0有公共點(diǎn)，則其離心率的最大值為（　　）