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已知拋物線C：y²=4x．
（1）設(shè)圓M過點T（2，0），且圓心M在拋物線C上，PQ是圓M在y軸上截得的弦，當點M在拋物線上運動時，弦長|PQ|是否為定值？說明理由；
（2）過點D（-1，0）的直線與拋物線C交于不同的兩點A、B，在x軸上是否存在一點E，使△ABE為正三角形？若存在，求出E點坐標；若不存在，說明理由．

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已知拋物線C：y²=4x．
（1）設(shè)圓M過點T（2，0），且圓心M在拋物線C上，PQ是圓M在y軸上截得的弦，當點M在拋物線上運動時，弦長|PQ|是否為定值？說明理由；
（2）過點D（-1，0）的直線與拋物線C交于不同的兩點A、B，在x軸上是否存在一點E，使△ABE為正三角形？若存在，求出E點坐標；若不存在，說明理由．

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如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（理）過軌跡C的準線與y軸的交點M作直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，且線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y），求y的取值范圍；
（3）（理）對于（2）中的點A、B，在y軸上是否存在一點D，使得△ABD為等邊三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題

    （1）C                 （2）B          （3）D          （4）A          （5）B

    （6）B                 （7）B          （8）D          （9）D          （10）A

    （11）B        （12）C

二、填空題

    （13）                  （14）－6            （15）            （16）576

三、解答題

    （17）（本小題滿分12分）

    解：（I）當時，。

    依條件有：

    ∴

    ∴的單調(diào)增區(qū)間為  6分

    （II）設(shè)

    ∴

    ∴

    ∴

    依條件令，即時，為偶函數(shù)。  12分

    （18）（本小題滿分12分）

    解：（I）四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有種方法，前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的共有種方法，∴前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的概率為；  6分

    （II）的所有可能取值為2，3，4，∴的概率分布為

2

3

4

P

    ∴  12分

    （19）（本小題滿分12分）

    （I）證明：∵ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

    ∴CC₁⊥平面ABC，∴AC⊥CC₁。

    ∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B₁BCC₁。

    ∴B₁C是AB₁在平面B₁BCC₁上的射影。

    ∵BC＝CC₁，∴四邊形B₁BCC₁是正方形。

    ∴BC₁⊥B₁C。根據(jù)三垂線定理得

    AB₁⊥BC₁  4分

    （II）解：設(shè)，作OP⊥AB₁于點P

    連結(jié)BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B₁C，

    ∴BO⊥平面AB₁C

    ∴OP是BP在平面AB₁C上的射影。

    根據(jù)三垂線定理得AB₁⊥BP。

    ∴∠OPB是二面角B－AB₁－C的平面角

    ∵

    在Rt△POB中，

    ∴二面角B－AB₁－C的正切值為  8分

    （III）解：解法1：∵A₁C₁∥AC，AC平面AB₁C，

    ∴A₁C₁∥平面AB₁C。

    ∴點A₁到平面AB₁C的距離與點C₁到平面AB₁C的距離相等。

    ∵BC₁⊥平面AB₁C，

    ∴線段C₁O的長度為點A₁到平面AB₁C的距離

    ∴點A₁到平面AB₁C的距離為a  12分

    解法2：連結(jié)A₁C，有設(shè)點A₁到平面AB₁C的距離為h。

    ∵B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，∴?h＝，

    又

    ∴，

    ∴點A₁到平面AB₁C的距離為  12分

    （20）（本小題滿分12分）

    解：（I）若在[0，）上是增函數(shù)，則時

    恒成立

    即恒成立

    ∴

    故a的取值范圍是  6分

    （II）若上是增函數(shù)

    則恒成立

    即對所有的均成立

    得，與題設(shè)矛盾。

    ∴上不是增函數(shù)  12分

    （21）（本小題滿分14分）

    解：（I）設(shè)E（x，y），則

    由已知得

    ∴

    即為點E的軌跡方程。  4分

    （II）設(shè)橢圓C的方程為，過F₁的直線為

    ，P、Q在橢圓C上，

    ∴

    兩式相減，得  ①

    而，

    代入①得  ②

    由與圓相切，得代入②得，

    而橢圓C的方程為  9分

    （III）假設(shè)存在直線，設(shè)MN的中點為

    由|TM|＝|TN|，∴TP為線段MN的中垂線，其方程為

    又設(shè)

    相減并由

    整理得：

    又點P（－4k，2）在橢圓的內(nèi)部

    ∴，解之得，即k不存在

    ∴不存在直線l滿足題設(shè)條件。  14分

    （22）（本小題滿分12分）

    解：（I）P₂表示從S點到A（或B、C、D），然后再回到S點的概率

    所以；

    因為從S點沿SA棱經(jīng)過B或D，然后再回到S點的概率為，

    所以  4分

    （II）設(shè)小蟲爬行n米后恰回到S點的概率為P_n，那么表示爬行n米后恰好沒回到S點的概率，則此時小蟲必在A（或B、C、D）點

    所以  8分

    （III）由

    從而

    所以

                             12分