Question

已知拋物線C：y²=4x．
（1）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)T（2，0），且圓心M在拋物線C上，PQ是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|是否為定值？說(shuō)明理由；
（2）過(guò)點(diǎn)D（-1，0）的直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，在x軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ABE為正三角形？若存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心M（

y02

4

，y₀），則圓半徑r²=（

y02

4

-2）²+y₀²，利用圓心M到y(tǒng)軸的距離結(jié)合直角三角形中的邊的關(guān)系，即可求得弦長(zhǎng)|PQ|為定值；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my-1，將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用垂直關(guān)系即可求得AB中垂線方程，從而得出△ABE為正三角形時(shí)的等式，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)圓心M（

y02

4

，y₀），則圓半徑r²=（

y02

4

-2）²+y₀²，
圓心M到y(tǒng)軸的距離為d=

y02

4

，
∴弦長(zhǎng)|PQ|=2

r2-d2

=2

( y02 4 -2)2+y02-( y02 4 )2

=2

-y02+4+y02

=4 （定值）；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my-1，消x得y²-4my+4=0
△=16m²-16=16（m²-1）＞0，∴m²＞1，
∵y₁+y₂=4m，
∴AB的中點(diǎn)為N（2m²-1，2m），
∴AB中垂線方程為y-2m=-m（x-2m²+1），令y=0，∴x=2m²+1，
即E坐標(biāo)為（2m²+1，0），
∴|EN|=

4+4m2

=2

m2+1

，
又|AB|=

1+m2

•4

m2-1

，當(dāng)△ABE為正三角形時(shí)，
|EN|=

3

2

|AB|，∴2

m2+1

=

3

2

•

1+m2

•4

m2-1

，
∴m²=

4

3

，滿足△＞0，∴存在點(diǎn)E（ 

11

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的關(guān)系、圓的方程、拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．