題目列表(包括答案和解析)
如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則。
二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。
三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4分，滿分16分。
13．－160 14． 15．576 16．
三、解答題
17．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識，考
（Ⅰ）證明： 連結(jié)CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則AB=a，則
……………………8分
解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. ≌≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 為所求二面角的平面角.
設(shè)AB=a，則 …………8分
（Ⅲ）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R.
，的邊長為.………12分
解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑.
連結(jié)OA、AD，可知△PAD為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R.
.……12分
18．本小題主要考查根據(jù)圖形建立函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)公式、用反三角函數(shù)表示角以及解和
三角函數(shù)有關(guān)的極值問題等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用三角函數(shù)知識的能力. 滿分12分.
（Ⅰ）解：設(shè)S為十字形的面積，則
………………4分
（Ⅱ）解法一：
其中………8分 當(dāng)最大.……10分
所以，當(dāng)最大. S的最大值為…………12分
解法二： 因為 所以
……………………8分
令S′=0，即
可解得 ………………10分
所以，當(dāng)時，S最大，S的最大值為 …………12分
19．本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力，滿分12分。
（Ⅰ）證明：當(dāng) 因為a1=1，
所以 ………………2分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
（1）當(dāng)n=1時，b1=，不等式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，當(dāng)n=k+1時，不等也成立。
根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故對任意………………（12分）
20．（本小題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建
立與求解等基礎(chǔ)知識，考查通過建立簡單的數(shù)學(xué)模型以解決實際問題的能力，滿分12
分.
（Ⅰ）解：…………2分
（Ⅱ）解：隨機變量、的分別列是
5
2.5
P
0.68
0.32
2.5
1.5
P
0.6
0.4
…………6分
作出可行域（如圖）：
作直線
將l向右上方平移至l1位置時，直線經(jīng)過可行域上
的點M點與原點距離最大，此時 …………10分
取最大值. 解方程組
得即時，z取最大值，z的最大值為25.2 .……………12分
21．本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)
用，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.滿分14分.
由P在橢圓上，得
由，所以 ………………………3分
證法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為記
則
由
證法三：設(shè)點P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為
由橢圓第二定義得，即
由，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：設(shè)點T的坐標(biāo)為
當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.
當(dāng)|時，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點.
在△QF1F2中，，所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是…………………………7分
解法二：設(shè)點T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.
當(dāng)|時，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點.
設(shè)點Q的坐標(biāo)為（），則
因此 ①
由得 ②
將①代入②，可得
綜上所述，點T的軌跡C的方程是……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是
由③得，由④得 所以，當(dāng)時，存在點M，使S=；
當(dāng)時，不存在滿足條件的點M.………………………11分
當(dāng)時，，
由，
，
，得
解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是
由④得 上式代入③得
于是，當(dāng)時，存在點M，使S=；
當(dāng)時，不存在滿足條件的點M.………………………11分
當(dāng)時，記，
由知，所以…………14分
22．本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問題的能力.滿分12分
（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）證明：令
因為遞減，所以遞增，因此，當(dāng)；
當(dāng).所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的
最小值為0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.
對任意成立的充要條件是
另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為
于是的充要條件是…………………………10分
綜上，不等式對任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.
對任意成立的充要條件是
………………………………………………………………8分
令，于是對任意成立的充要條件是
由
當(dāng)時當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，取最小值.因此成立的充要條件是，即………………10分
綜上，不等式對任意成立的充要條件是
①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分
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