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如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小．

【解析】第一問利用線面垂直的判定定理和建立空間直角坐標(biāo)系得到法向量來表示二面角的。

第二問中，以A為原點，如圖所示建立直角坐標(biāo)系

，，

設(shè)平面FAE法向量為，則

，，

 

如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱．

　（１）求三棱錐的體積；

　（２）求直線與平面所成角的正弦值；

�。ǎ常┤衾�上存在一點，使得，當(dāng)二面角的大小為時，求實數(shù)的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

       （4’）

,設(shè)平面的法向量為，

由得，                                             （5’）

則，

.  （7’）

（3）

設(shè)平面的法向量為，由得，      （10’）

 

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.