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已知f(n)=(2n+7)3ⁿ+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都能使m整除f(n)，猜測(cè)出最大的m的值。并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜測(cè)是正確的。

【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后證明n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2)  證明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 

證明  n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36

給出問(wèn)題：已知滿足，試判定的形狀.某學(xué)生的解答如下：

解：（i）由余弦定理可得，

，

，

,

故是直角三角形.

（ii）設(shè)外接圓半徑為.由正弦定理可得，原式等價(jià)于

，

故是等腰三角形.

綜上可知，是等腰直角三角形.

請(qǐng)問(wèn)：該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫(xiě)出解題過(guò)程中主要用到的思想方法；若不正確，請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫(xiě)出你認(rèn)為本題正確的結(jié)果.　　    　　　　　.