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設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù).若對任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“J_k型”數(shù)列．

（1）若數(shù)列是“J₂型”數(shù)列，且，，求；

（2）若數(shù)列既是“J₃型”數(shù)列，又是“J₄型”數(shù)列，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

【解析】1）中由題意，得，，，，…成等比數(shù)列，且公比，

所以．

（2）中證明：由{}是“j₄型”數(shù)列，得，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為t. 由{}是“j₃型”數(shù)列，得

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

 

已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數(shù)的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域為

由，得

當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：

x
	-	0	+
		極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當(dāng)時，取，有，故時不合題意.當(dāng)時，令，即

令，得

①當(dāng)時，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當(dāng)時，，對于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當(dāng)n=1時，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當(dāng)時，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上，，

 

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

．

【解析】首先證明當(dāng)n=1時等式成立，再假設(shè)n=k時等式成立，得到等式

，

下面證明當(dāng)n=k+1時等式左邊

，

根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

 

設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標(biāo)原點.

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設(shè)點P的坐標(biāo)為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點P的坐標(biāo)為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點P的坐標(biāo)為.

由P在橢圓上，有

因為，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

已知R，函數(shù)．

⑴若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍；

⑵若函數(shù)存在極大值，并記為，求的表達(dá)式；

⑶當(dāng)時，求證：．

【解析】(1)求導(dǎo)研究函數(shù)f(x)的最值，說明函數(shù)f(x)的最大值<0,或f(x)的最小值>0.

(2)根據(jù)第（1）問的求解過程，直接得到g(m).

（3）構(gòu)造函數(shù),證明即可，然后利用導(dǎo)數(shù)求g(x)的最小值.