題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）如圖，已知三棱柱
的所有棱長都相等，且側(cè)棱垂直于底面，由
沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱
到點
的最短路線長為
,設(shè)這條最短路線與的交點為
．
（1）求三棱柱的體積；
(2)在面
內(nèi)是否存在過的直線與面
平行？證明你的判斷；
（3）證明：平面⊥平面
．
（本小題滿分13分）
如圖，已知三棱柱
中，
底面
，
，
，
，
，
分別是棱
，
中點.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）求三棱錐
的體積．
的所有棱長都相等，且側(cè)棱垂直于底面，由
沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱
到點
的最短路線長為
,設(shè)這條最短路線與的交點為
．
的體積；
內(nèi)是否存在過的直線與面
平行？證明你的判斷；⊥平面
．（本小題滿分13分）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線L在y軸上的截距為m(m≠0)，L交橢圓于A、B兩個不同點。
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。
（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓
的離心率為
，以該橢圓上的點和橢圓的
左、右焦點
為頂點的三角形的周長為
.一等軸雙曲線的頂點是該橢
圓的焦點，設(shè)
為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線
和
與橢圓的交點
分別 為
和
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為
、
，證明
；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)
，使得
恒成立？
若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
一、ABCBD BCABD
二、11.2 12. 
13.4 14.10 15. ①②③
三、16. 解：（1）
，
3分
由已知
，得
．
6分
（2）由（1）得
，
8分
當
時，
的最小值為
，
10分
由，得
值的集合為
． 13分
17. 解：（I）取AB的中點O，連接OP，OC 
PA=PB PO
AB
又在
中，
，
在
中，
，又
，故有
又
， 
面ABC 4分
又 PO
面PAB，面PAB面ABC
6分
（Ⅱ）以O(shè)為坐標原點，
分別以O(shè)B，OC，OP為軸，
軸，
軸建立坐標系，
如圖，則A
8分
設(shè)平面PAC的一個法向量為
。
得
令
，則
11分
設(shè)直線PB與平面PAC所成角為
，
于是
13分
18. 解：（1）
；
4分
（2）消費總額為1500元的概率是：
5分
消費總額為1400元的概率是：
6分
消費總額為1300元的概率是：
＝
，
所以消費總額大于或等于1300元的概率是
；
8分
（3）
，
，
＝
。所以
的分布列為：
0
1
2
3
0.294
0.448
0.222
0.036
數(shù)學期望是：
。 13分
19. 解：∵
的右焦點
∴橢圓的半焦距
，又
，
∴橢圓的
， 
.橢圓方程為
.
（Ⅰ）當
時，故橢圓方程為
， 3分
（Ⅱ）依題意設(shè)直線
的方程為：
，
聯(lián)立
得點
的坐標為
. 4分
將代入
得
.
設(shè)
、
，由韋達定理得
，
. 5分
又
，
.
7分
有實根， ∴點可以在圓上. 8分
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)
，
由
解得：
. 10分
∴
，
，又
.即
的邊長分別是
、
、
.
時，能使的邊長是連續(xù)的自然數(shù)。 1
3分
20. 解：（1）
．
1分
當
時，
，在
上單調(diào)遞增；
2分
當
，
時，
，在
上單調(diào)遞減；
時，，在
上單調(diào)遞增．
3分
綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
4分
（2）充分性：
時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，
即
。而在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
所以在上有唯一的一個零點x=1． 6分
必要性：若函數(shù)f(x)存在唯一零點，即方程=0在上有唯一解，
因, 由（1）知，在
處有極小值也是最小值f(a)，
f(a)=0,即
．
7分
令
， 
．
當
時，
，
在上單調(diào)遞增；當
時，
，
在上單調(diào)遞減。
，=0只有唯一解．
因此=0在上有唯一解時必有．
綜上：在時， =0在上有唯一解的充要條件是． 9分
（3）證明：∵1<x<2, ∴
.
令
，∴
，11分
由（1）知，當時，，∴
，
∴
．∴
，
12分
∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴
，
∴
�！�
．
14分
21. （Ⅰ）解：考慮在矩陣
作用下，求出變換后的三角形的頂點坐標，從而求得三角形的面積，可先求得
，由
＝，得點
在矩陣
作用下變換所得到的點
，同理求得
在矩陣作用下變換所得到的點分別是
，
，計算得△
的面積為3．
7分
（Ⅱ）解：直線
的極坐標方程
，則
，
即
，所以直線的直角坐標方程為
； 2分
設(shè)
，其中
，則P到直線的距離
，其中
，∴ 當
時，
的最大值為
；當
時，的最小值為
。
7分
（Ⅲ）解：由柯西不等式，得
， 2分
即
．由條件，得
．解得
， 2分
當且僅當
時等號成立．代入
時，
；
時，
．所以，
的取值范圍是
．
7分
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