四面體ABCD滿足AB=CD,BC=DA,AC=BD.設(shè)二面角D-AB-C為α,二面角DBCA為β,二面角D-AC-B為γ,則cosα+cosβ+cosγ=__________.

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．
（文科）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．
（文科）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點(diǎn)D₁．設(shè)直線l過點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D₁位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．
（Ⅰ） 設(shè)二面角E-AC-D₁的大小為θ，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求線段BE長的取值范圍；
（Ⅱ）在線段D₁E上存在點(diǎn)P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

PE

與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0＜BE＜a時(shí)，恒有

D1P

PE

＜1．