Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．
（文科）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 先證明三棱柱是直三棱柱，由CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，證得A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 如圖所示建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出二面角的兩個(gè)面的法向量，求出兩個(gè)法向量夾角的
余弦值，此余弦值的相反數(shù)即為所求．
（文答案）（Ⅰ） AB⊥BD，由面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥底面BDC，故AB⊥CD，又DC⊥BC，DC⊥平面ABC．
（Ⅱ） 證得EF⊥平面ABC，可得，求出三角形AEB的面積和EF的長(zhǎng)度，
即可求得結(jié)果．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因?yàn)锳₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因?yàn)锳₁B₁=A₁C₁，D為B₁C₁中點(diǎn)，所以A₁D⊥B₁C₁．
因?yàn)镃C₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）解：因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)AB=1，則.，設(shè)平面A₁DC的法向量為，
則有，，x=-y=-z，取x=1，得．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182004102673384/SYS201310241820041026733019_DA/7.png">，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量為，因?yàn)槎�面角D-A₁C-A是鈍角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值為．
（文答案）（Ⅰ）證明：在圖甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD．
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴．
在圖甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得，，
∴，∴，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，二面角的大小，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用．