題目列表(包括答案和解析)
已知數列{}滿足
,且
.
(1)若=1,求數列{
}的通項公式;
(2)是否存在實數,使不等式
≥2(
)恒成立?若存在,求出
的取值范圍;若不存在,說明理由;
(3)當一3≤<1時,證明:
.
已知函數的定義域為
,當
時,
,且對于任意的
,恒有
成立.
(1)求;
(2)證明:函數在
上單調遞增;
(3)當時,
①解不等式;
②求函數在
上的值域.
已知函數的定義域為
,當
時,
,且對于任意的
,恒有
成立.
(1)求;
(2)證明:函數在
上單調遞增;
(3)當時,
①解不等式;
②求函數在
上的值域.
已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當時
單調遞減;當
時
單調遞增,故當
時,
取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當
. 、
令則
當時,
單調遞增;當
時,
單調遞減.
故當時,
取最大值
.因此,當且僅當
時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當
時,
單調遞減;當
時,
單調遞增.故當
,
即
從而,
又
所以因為函數
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.
一、選擇題:(每小題5分,共60分)
ADBBC CDCDC BD
二、填空題:(每小題4分,共16分)
13. .
14、33
15、
16. ① ③ ⑤
三、解答題
17、【解】由題意,得
.……4分
(1)∵,
,∴
,
∴. ……8分
(2)由圖象變換得,平移后的函數為,而平移后的圖象關于原點對稱.
∴且
,即
且
,
∵,∴
,即
.……12分
18、【解】解法一(I)證明:
連接A1B,設A1B∩AB1 = E,連接DE.
∵ABC―A1B
∴四邊形A1ABB1是正方形,
∴E是A1B的中點,
又D是BC的中點,
∴DE∥A
∵DE平面AB1D,A
平面AB1D,
∴A
(II)解:在面ABC內作DF⊥AB于點F,在面A1ABB1內作FG⊥AB1于點G,連接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC, ∴DF⊥平面A1ABB1,
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………6分
設A
在△ABE中,,
在Rt△DFG中,,
所以,二面角B―AB1―D的大小為 …………………………8分
(III)解:∵平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC,
∴AD⊥平面B1BCC1,又AD平面AB1D,∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1內作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H,
則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………10分
由△CDH∽△B1DB,得
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