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          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          選考題部分
          （1）（選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)）（本小題滿分7分）
          在極坐標(biāo)系中，過曲線L：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）外的一點A(2
          		5
          ，π+θ)          （其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=
          π
          4
          (ρ∈R)          的直線l與曲線分別交于B，C．
          （Ⅰ） 寫出曲線L和直線l的普通方程（以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建系）；
          （Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比數(shù)列，求a的值．
          （2）（選修4-5 不等式證明選講）（本小題滿分7分）
          已知正實數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，
          （Ⅰ） 求證：
          		a
          +
          		b
          +
          		c
          ≤3          ；
          （Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．
          

			
          
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          精英家教網(wǎng)A．選修4-1：幾何證明選講
          如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2（r1＞r2 ）．圓O1的弦AB交圓O2于點C （ O1不在AB上）．求證：AB：AC為定值． 
          B．選修4-2：矩陣與變換
          已知矩陣A=
          11
          21
          ，向量β=
          1
          2
          ．求向量
          α
          ，使得A2
          α
          =
          β
          ． 
          C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓
          x=5cosφ
          y=3sinφ
          （φ為參數(shù)）的右焦點，且與直線
          x=4-2t
          y=3-t
          （t為參數(shù)）平行的直線的普通方程．
          D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
          解不等式：x+|2x-1|＜3．
          

			
          
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          （本小題滿分10分）等體積的球和正方體，試比較它們表面積的大小關(guān)系．
          

			
          
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          （文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
          		3
          sinx•cosx-2sin2x(x∈R)          ，
          （1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
          （2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．
          

			
          
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          本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          設(shè)矩陣 M=
          a0
          0b
          （其中a＞0，b＞0）．
          （Ⅰ）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M-1；
          （Ⅱ）若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：
          x2
          4
          +y2=1          ，求a，b的值．
          （2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          在直接坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為
          x=
          		3
          cos∂
          y=sin∂
          (∂為參數(shù))          ．
          （Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標(biāo)為（4，
          π
          2
          ），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
          （Ⅱ）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
          （3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
          設(shè)不等式|2x-1|＜1的解集為M．
          （Ⅰ）求集合M；
          （Ⅱ）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大�。�
          

			
          
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          1－10：DCDAABCBCDC
          11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3
.
           
           
          1．函數(shù)的定義域是，解得x≥1，選D.
          2．向量若時，∥，∴ ；時，，，選C.
          3．的展開式中的系數(shù)=x3， 則實數(shù)的值是2，選D
          4．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是R=1，該截面的面積是π，選A.
          5．若“”，則函數(shù)=在區(qū)間上為增函數(shù)；而若在區(qū)間上為增函數(shù)，則0≤a≤1，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，選A.
          6．在數(shù)字1，2，3與符號“＋”，“－”五個元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B.
          7．圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.
          8．設(shè)點P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，∴ 最小正周期為π，選B.
          9．過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點,  聯(lián)立方程組代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選D.
          10．如圖，OM∥AB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，
          由圖知，x<0，當(dāng)x=－時，即=－，P點在線段DE上，=，=，而<<，∴ 選C.
          二．填空題：
          11.； 12. 85；  13. 5 ；  14.
6 ；  15. －3
.
          11．?dāng)?shù)列滿足：，2，3…，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，∴ .
          12．某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是分.
          13．已知，如圖畫出可行域，得交點A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5. 
           
          14．過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有6條。
          15．是偶函數(shù)，取a=－3，可得為偶函數(shù)。
           
           
          16. 解　由已知條件得.
          即.
          解得.
          由0＜θ＜π知，從而.
          17. 解�。á瘢┟考颐旱V必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的. 所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.
          （Ⅱ）解法一　某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而煤礦不被關(guān)閉的概率是0.90.
          解法二　某煤礦不被關(guān)閉包括兩種情況：（i）該煤礦第一次安檢合格；（ii）該煤礦第一次安檢不合格，但整改后合格.
          所以該煤礦不被關(guān)閉的概率是.
          (Ⅲ)由題設(shè)（Ⅱ）可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9，且每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，所以到少關(guān)閉一家煤礦的概率是.
          18. 解法一　（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，設(shè).
          由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
          從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
          （Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

          
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 
 
  
 
  
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 
 
  
 
  
 
 
  
 
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.
          所以
          于是.
          從而異面直線AQ與PB所成的角是.
          (Ⅲ)由（Ⅱ），點D的坐標(biāo)是（0，－，0），，              
          ，設(shè)是平面QAD的一個法向量，由
          得.
          取x=1，得.
          所以點P到平面QAD的距離.
          解法二�。á瘢┤D的中點，連結(jié)PM，QM.
          因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，
          所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.
          又平面PQM，所以PQ⊥AD.
          同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
          
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 
 
  
 
  
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
（Ⅱ）連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點共面.
          因為OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.
          從而∠BPC（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角.
          因為，
          所以.
          從而異面直線AQ與PB所成的角是.
          (Ⅲ)連結(jié)OM，則.
          所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.
          由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長是點P到平面QAD的距離.
          在直角△PMO中，.
          即點P到平面QAD的距離是.
          19. 解　（Ⅰ）由題設(shè)知.
          令.
          當(dāng)（i）a>0時，
          若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
          若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
          若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
          （i i）當(dāng)a＜0時，
          若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
           
          若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
          若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
          若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).
          （Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.
          因為線段AB與x軸有公共點，所以.
          即.所以.
          故.
          解得�。�1≤a＜0或3≤a≤4.
          即所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].
          20. 解�。á瘢┯梢阎�，
          　　.
              （Ⅱ）因為，
          　　　　　所以.
                   
又因為，
          　　　　　所以
          　　　　　　　　　　　　　 =.
                   
綜上，.
          21. 解　（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為
              x=1，從而點A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）.
              因為點A在拋物線上，所以，即.
              此時C2的焦點坐標(biāo)為（，0），該焦點不在直線AB上.
             （Ⅱ）解法一　當(dāng)C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.
          由消去y得.          
……①
          設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
          則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.
          
 
 
  
  
 
  
 
 因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是過C2的焦點的弦，
          所以，且
          .
          從而.
          所以，即.
          解得.
          因為C2的焦點在直線上，所以.
          即.
          當(dāng)時，直線AB的方程為；
          當(dāng)時，直線AB的方程為.
          解法二　當(dāng)C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程
          為.
          由消去y得.         
　　　　　　　 ……①
          因為C2的焦點在直線上，
          所以，即.代入①有.
          即.                                    
……②
          設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
          則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.
          由消去y得.          
　　……③
           
          由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.
          從而＝. 解得.
          因為C2的焦點在直線上，所以.
          即.
          當(dāng)時，直線AB的方程為；
          當(dāng)時，直線AB的方程為.
           解法三　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
          因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點，
          所以.
          即.                                         ……①
          由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……②
          且直線AB的方程是,
          所以.                               
……③
          又因為，所以.        
……④ 
          將①、②、③代入④得，即.
          當(dāng)時，直線AB的方程為；
          當(dāng)時，直線AB的方程為.
           
           
           
           
           
           
           
          		
          
	
          
	
          
		
          


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