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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          

          
	
          
				
          

			
				證明不等式:   [必做題]第22題.第23題.每題10分.共計20分. 請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
          


            （Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
          


            （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項，是前項和，證明：．
          


          【解析】本試題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解函數(shù)給定區(qū)間的最值問題，以及能結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識，表示數(shù)列的前n項和，同時能構(gòu)造函數(shù)證明不等式的數(shù)學(xué)思想。是一道很有挑戰(zhàn)性的試題。
          


           
          

			
          
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          把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象．　
          


          (1)求函數(shù)的解析式； (2)若，證明：.
          


          【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運用函數(shù)思想證明不等式。第一問中，利用設(shè)上任意一點為（x,y）則平移前對應(yīng)點是（x+1,y-2）代入　，便可以得到結(jié)論。第二問中，令，然后求導(dǎo)，利用最小值大于零得到。
          


          (1)解：設(shè)上任意一點為（x,y）則平移前對應(yīng)點是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分
          


          (2) 證明：令，……6分
          


          則……8分
          


          ,∴,∴在上單調(diào)遞增．……10分
          


          故，即
          


           
          

			
          
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          已知函數(shù)的最小值為0，其中
          


          （Ⅰ）求的值；
          


          （Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數(shù)的最小值；
          


          （Ⅲ）證明（）.
          


          【解析】(1)解：
的定義域為
          


          


          由，得
          


          當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：
          


          
 
          
  
  
          x
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          -
          
            		
  
  
          0
          
            		
  
  
          +
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          極小值
          
            		
  
  
          
            		
 
          

          


          因此，在處取得最小值，故由題意，所以
          


          （2）解：當(dāng)時，取，有，故時不合題意.當(dāng)時，令，即
          


          


          令，得
          


          ①當(dāng)時，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.
          


          ②當(dāng)時，，對于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時，，即不成立.
          


          故不合題意.
          


          綜上，k的最小值為.
          


          （3）證明：當(dāng)n=1時，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.
          


          當(dāng)時，
          


                                

          


                                

          


          在（2）中取，得 ，
          


          從而
          


          所以有
          


               

          


               

          


               

          


               

          


                

          


          綜上，，
          


           
          

			
          
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          由下列不等式：，，， ，，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明。
          


          【解析】本試題主要考查了合情推理的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是觀察到表達(dá)式的特點，以及運用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重要的數(shù)學(xué)思想。
          


           
          

			
          
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          集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個不同的子集，對于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
          ①i∉Ai，且每一個Ai至少含有三個元素；
          ②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
          為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=
          0   當(dāng)i∉AJ時
          1        當(dāng)i∈AJ時  
          ．
          （1）該表中每一列至少有多少個1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
          （2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個數(shù)f（n），并證明n≥7；
          （3）設(shè)數(shù)列{an}前n項和為f（n），數(shù)列{cn}的通項公式為：cn=5an+1，證明不等式：
          		5cmn
          -
          		cmcn
          ＞1對任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
          

          


          

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          第 一 部 分
           
          一、填空題：
          1．        2．          3．1            4．16
          5．                                 6．               7．64           8．
          9．25                                 10．①④            11．        12． 
          13．                          14．
          二、解答題： 
          15．解：（Ⅰ）依題意：，
          即，解之得，（舍去）   …………………7分
          （Ⅱ），∴  ，，  ………………………9分
          ∴    …………………………………11分
          ．      ……………………………………………14分
          16．解：（Ⅰ）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱．
          連BC1交B1C于O，則O為BC1的中點，連DO。
          則在中，DO是中位線，
          ∴DO∥AC1．               
………………………………………………………4分
          ∵DO平面DCB1，AC1平面DCB1，
          ∴AC1∥平面CDB1．          
………………………………………………………7分
          （Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．
          ∵  ，
          ∴  平面，平面，
          ∴   。
          ∵   ，
          ∴  平面，
          又平面，
          ∴  。
          17．解：（Ⅰ）由題意知：，
          一般地： ，…4分
          ∴  （）�！�7分
          （Ⅱ）2008年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額為：
           ，…………………………………………10分
          2009年度諾貝爾獎各項獎金額為萬美元， ………12分
          與150萬美元相比少了約14萬美元。     …………………………………………14分
          答：新聞 “2009年度諾貝爾獎各項獎金高達(dá)150萬美元”不真，是假新聞�！�15分
          18．解：（Ⅰ）圓與軸交點坐標(biāo)為，
          ，，故，    …………………………………………2分
          所以，
          橢圓方程是：              
…………………………………………5分
          （Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點是，依題意，
          即,
          ,
          ,
          ,
           
          （Ⅲ）直線的方程是，…………………………………………………6分
          圓D的圓心是，半徑是，……………………………………………8分
          設(shè)MN與PD相交于，則是MN的中點，且PM⊥MD，
          ……10分
          當(dāng)且僅當(dāng)最小時，有最小值，
          最小值即是點到直線的距離是，…………………12分
          所以的最小值是。  ……………………………15分
           
          19．解：（Ⅰ）點的坐標(biāo)依次為，，…，
          ，…，          
……………………………2分
          則，…，
          若共線；則，
          即，
          即， ……………………………4分
          ，
          ，
          所以數(shù)列是等比數(shù)列。         
……………………………………………6分
          （Ⅱ）依題意，
          ，
          兩式作差，則有：，   ………………………8分
          又，故，   ……………………………………………10分
          即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；此數(shù)列的前三項依次為
          ，
          由，可得，
          故，或，或。          
………………………………………12分
          數(shù)列的通項公式是，或，或。    ………14分
          由知，時，不合題意；
          時，不合題意；
          時，； 
          所以，數(shù)列的通項公式是。  ……………………………………16分
           
          20．解：（Ⅰ）函數(shù)定義域，
          ，    ……………………………………………4分
          （Ⅱ），由（Ⅰ）
          ，，
          ，單調(diào)遞增，
          所以。
          設(shè)，
          則，
          即，也就是。
          所以，存在值使得對一個，方程都有唯一解�！�10分
          （Ⅲ），
          ，
          以下證明，對的數(shù)及數(shù)，不等式不成立。
          反之，由，亦即成立，
          因為，，
          但，這是不可能的。這說明是滿足條件的最小正數(shù)。
          這樣不等式恒成立，
          即恒成立，
          ∴  ，最小正數(shù)=4 �！�16分
           
           第二部分（加試部分）
          21．（A）解：AD2=AE?AB，AB=4，EB=3     
……………………………………4分
          △ADE∽△ACO，               
……………………………………………8分
          CD=3                        
……………………………………………10分
          （B）解：（Ⅰ），
          所以點在作用下的點的坐標(biāo)是�！�5分
          （Ⅱ），
          設(shè)是變換后圖像上任一點，與之對應(yīng)的變換前的點是，
          則，
          也就是，即，
          所以，所求曲線的方程是。……………………………………………10分
          （C）解：由已知圓的半徑為，………4分
          又圓的圓心坐標(biāo)為，所以圓過極點，
          所以，圓的極坐標(biāo)方程是�！�10分
          （D）證明：
          ＜           
……………………………………6分
          =2－
          ＜2                             
……………………………………10分
           
           
           
          22．解：（Ⅰ）∵，∴，
          ∴切線l的方程為，即．……………………………………………4分
          （Ⅱ）令＝0，則．令＝0，則x＝1．
           ∴A＝＝＝．………………10分
          23．解：（Ⅰ）記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，則 
          P(A)= 
          答：該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為。 …………………………4分
          （Ⅱ）參加測試次數(shù)的可能取值為2，3，4，
                ，
              ，
                ，    ……………………………………………7分
                  故的分布列為：
          2
          3
          4
                ……………………………………………10分
          　
           
           
          		
          
	
          
	
          
		
          


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