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        1. ∴證明的結(jié)論成立.即: 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中

          (Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;

          (Ⅱ) 設(shè) (N*).

          ①證明: ;

          ② 求證:.

          【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,

          所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

          解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由.  ……2分

          若存在,

          從而有,與矛盾,所以.

          從而由.  ……6分

           (Ⅱ)①證明:

          證法一:∵

           

          .…………10分

          證法二:,下同證法一.           ……10分

          證法三:(利用對偶式)設(shè),,

          .又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即

                              ………10分

          證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

             ②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

             則當(dāng)時(shí),

              即

          故當(dāng)時(shí),命題成立.

          綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

          ②由于,

          所以

          從而.

          也即

           

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          已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,數(shù)學(xué)公式(n≥2,n∈N*),且數(shù)學(xué)公式
          (1)求a2的值,并寫出an和an+1的關(guān)系式;
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn的表達(dá)式;
          (3)我們可以證明:若數(shù)列{bn}有上界(即存在常數(shù)A,使得bn<A對一切n∈N*恒成立)且單調(diào)遞增;或數(shù)列{bn}有下界(即存在常數(shù)B,使得bn>B對一切n∈N*恒成立)且單調(diào)遞減,則數(shù)學(xué)公式存在.直接利用上述結(jié)論,證明:數(shù)學(xué)公式存在.

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          已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,(,),且

          (1)求a2的值,并寫出an和an+1的關(guān)系式;

          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn的表達(dá)式;

          (3)我們可以證明:若數(shù)列{bn}有上界(即存在常數(shù)A,使得bn<A對一切n∈N*恒成立)且單調(diào)遞增;或數(shù)列{bn}有下界(即存在常數(shù)B,使得bn>B對一切n∈N*恒成立)且單調(diào)遞減,則存在.直接利用上述結(jié)論,證明:存在.

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          證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立,這種不直接證明的方法通常稱為________.如反證法,反證法的證明過程概括為:“________”“________”“________”“________”,

          即從否定結(jié)論開始,經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致邏輯矛盾,從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程.

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          (2012•虹口區(qū)一模)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,2Sn=Sn-1-(
          1
          2
          )n-1+2
          (n≥2,n∈N*),且a1=
          1
          2

          (1)求a2的值,并寫出an和an+1的關(guān)系式;
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn的表達(dá)式;
          (3)我們可以證明:若數(shù)列{bn}有上界(即存在常數(shù)A,使得bn<A對一切n∈N*恒成立)且單調(diào)遞增;或數(shù)列{bn}有下界(即存在常數(shù)B,使得bn>B對一切n∈N*恒成立)且單調(diào)遞減,則
          lim
          n→∞
          bn
          存在.直接利用上述結(jié)論,證明:
          lim
          n→∞
          Sn
          存在.

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