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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          

          
	
          
		
          

          2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）
          數(shù)學(xué)（新課程理工農(nóng)醫(yī)類）
           
          第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
           
          一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
          （1）
          

          試題詳情
          

          （A）                                       （B）
          

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          （C）                                       （D）
          

          試題詳情
          

          （2）已知，，則tan 2x＝
          

          試題詳情
          

          （A）                                                （B）
          

          試題詳情
          

          （C）                                                （D）
          

          試題詳情
          

          （3）設(shè)函數(shù)
          若f(x0)>1，則x0的取值范圍是
          （A）（－1，1）                     
（B）（－1，＋∞）
          

          試題詳情
          

          （C）（－∞，－2）（0，＋∞）      （D）（－∞，－1）（1，＋∞）
          

          試題詳情
          

          （4）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的
          （A）外心                                               （B）內(nèi)心
          （C）重心                                               （D）垂心
          

          試題詳情
          

          （5）函數(shù)，x∈(1，+∞)的反函數(shù)為
          

          試題詳情
          

          （A），x∈(1，+∞)               （B），x∈(1，+∞)
          

          試題詳情
          

          （C），x∈(－∞，0)             （D），x∈(－∞，0)
          （6）棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為
          

          試題詳情
          

          （A）                （B）                 （C）              （D）
          

          試題詳情
          

          （7）設(shè)a>0，f(x)＝ax2+bx+c，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為，則P到曲線y＝f(x)對稱軸距離的取值范圍為
          

          試題詳情
          

          （A）                                           （B）
          

          試題詳情
          

          （C）                                      （D）
          

          試題詳情
          

          （8）已知方程(x2－2x+m)(x2－2x+n)的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則
          
|m－n|＝
          

          試題詳情
          

          （A）1                    （B）                   （C）                （D）
          

          試題詳情
          

          （9）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是
          

          試題詳情
          

          （A）                                （B） 
          

          試題詳情
          

          （C）                                （D）
          （10）已知長方形的四個頂點A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射CD、DA到AB和上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）．設(shè)P4的坐標(biāo)為(x4，0)．若1< x4<2，則tgθ的取值范圍是
          

          試題詳情
          

          （A）                                             （B）    
          

          試題詳情
          

          （C）                                           （D）
          

          試題詳情
          

          （11）
          

          試題詳情
          

          （A）3                    （B）                   （C）                （D）6
          

          試題詳情
          

          （12）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為
          

          試題詳情
          

          （A）3p                  （B）4p                  （C）          （D）6π
           
          第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
           
          

          試題詳情
          

          二、選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．
          （13）展開式中x9的系數(shù)是                  
．
          （14）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取_______，_______，_________輛．
          

          試題詳情
          

          （15）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_____種．（以數(shù)字作答）
          （16）下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是            
．（寫出所有符合要求的圖表序號）
          

          試題詳情
          

           
           
           
          （17）（本小題滿分12分）
          已知函數(shù)f(x)＝2sin x (sin x+cos x)．
          （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
          （Ⅱ）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f(x)的區(qū)間上的圖象
           
          

          試題詳情
          

           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          （18）（本小題滿分12分）
          如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱
          
AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
          （Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
          （Ⅱ）求點A1到平面AED的距離．
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          （19）（本小題滿分12分）
          

          試題詳情
          

          設(shè)a>0，求函數(shù)（x∈(0，+∞)）的單調(diào)區(qū)間．
           
           
           
           
           
           
           
           
          （20）（本小題滿分12分）
          A、B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：
          對陣對員
          A隊隊員勝的概率
          A隊隊員負(fù)的概率
          A1對B1
          

          試題詳情
          

          

          試題詳情
          

          A2對B2
          

          試題詳情
          

          

          試題詳情
          

          A3對B3
          

          試題詳情
          

          

          試題詳情
          

          現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為x、h．
          （Ⅰ）求x、h的概率分布；
          （Ⅱ）求Ex、Eh．
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          （21）（本小題滿分12分）
          已知常數(shù)a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．經(jīng)過原點O以c+li為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以i－2lc為方向向量的直線相交于點P，其中l∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得| PE | + | PF |為定值．若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
           
           
           
           
           
          （22）（本小題滿分14分）
          設(shè)a0為常數(shù)，且an＝3n－1－2an－1（n∈N）．
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）證明對任意n≥1，；
          （Ⅱ）假設(shè)對任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范圍．
           
           
          2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）
          

          試題詳情
          

           
          一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分．
          （1）B     
（2）D     （3）D     
（4）B      （5）B      
（6）C
          （7）B      （8）C     （9）D     
（10）C     （11）B     
（12）A
          二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分．
          （13）     
（14）6，30，10    （15）120     
（16）①④⑤
          三、解答題：
          （17）本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)和恒等變換的基本技能，考查畫圖的技能，滿分12分．
          解（I）
            
               

                   所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為.
          （Ⅱ）由（Ⅰ）知
          *
          1
          1
          1
          故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是
           
           
           
           
           
           
           
          （18）本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力，滿分12分．
          解法一：（Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角．
          設(shè)F為AB中點，連結(jié)EF、FC，
          ∵ D、E分別是CC1、A1B的中點，又DC⊥平面ABC，
          ∴ CDEF為矩形．
          連結(jié)DF，G是△ADB的重心，
          ∴G∈DF．
          在直角三角形EFD中，
          ，
          ∵ EF＝1，∴
  ……4分
          于是
          ∵  ∴ 
          ∴ 
          ∴ A1B與平面ABC所成的角是
          （Ⅱ）連結(jié)A1D，有
          ∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，
          ∴ ED⊥平面A1AB．
          設(shè)A1到平面AED的距離為h．
          則   
          又    
          ∴  
          即A1到平面AED的距離為
          解法二： （Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角．
          如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為O，設(shè)CA＝2a，則 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，．
          ∴ ，．
          ∴ ，解得 a＝1．
          ∴ ，．
          ∴ ．
          A1B與平面ABD所成角是．
          （Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．
          ，
          ，
          ∴ ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，
          ∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，
          ∴ 點A1在平面AED的射影K在AE上．
          設(shè) ，
          則 ．
          由 ，即l+l+l－2＝0，
          解得 ．
          ∴ ．
          ∴ ．
          故A1到平面AED的距離為．
          （19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力．滿分12分．
          解：．
          當(dāng)a>0，x>0時
          f ¢(x)>0Ûx2+(2a－4)x+a2>0，
          f ¢(x)<0Ûx2+(2a－4)x+a2<0．
          （?）當(dāng)a
> 1時，對所有x > 0，有
          x2+(2a－4)x+a2>0，
          即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
          （?）當(dāng)a＝1時，對x≠1，有
          x2+(2a－4)x+a2>0，
          即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
          又知函數(shù)f(x)在x＝1處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
          （?）當(dāng)0<a<1時，令f ¢(x)>0，即
          x2+(2a－4)x+a2>0，
          解得，或．
          因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增．
          令f ¢(x)<0，即x2+(2a－4)x+a2 <
0，
          解得 
          ．
          因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
           
          （20）本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分．
          解：（Ⅰ）x，h的可能取值分別為3，2，1，0．
          ，
          ，
          ，
          ；
          根據(jù)題意知x+h=3，所以
          ，
          ，
          ，
          ．
          （Ⅱ）；
          因為 x +h＝3，
          所以 ．
           
          （21）本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分．
          解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．
          ∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，
          ∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．
          因此，直線OP和AP的方程為
          ly=ax 和 y－a＝－2lax．
          消去參數(shù)l，得點P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y－a)=­－2a2x2，
          整理得  ．     
①
          因為a>0，所以得：
          （?）當(dāng)時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；
          （?）當(dāng)時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點：
          （?）當(dāng)時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點．
           
          （22）本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分．
          （Ⅰ）證法一：（?）當(dāng)n＝1時，由已知a1=1－2a0，等式成立；
          （?）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1）等式成立，即
          ，
          那么 
          ，
          也就是說，當(dāng)n＝k+1時，等式也成立．
          根據(jù)（?）和（?），可知等式對任何n∈N+成立．
          證法二：如果設(shè)an－a3n=－2(an－1－a3n－1)，
          用代入，可解出．
          所以是公比為－2，首項為的等比數(shù)列．
          ∴ （n∈N+），
          即 ．
          （Ⅱ）解法一：由an通項公式
          ，
          ∴ an>an－1（n∈N+）等價于
          （n∈N+）．     
①
          （?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時，①式即為
          ，
          即為 ．              
②
          ②式對k＝1，2，…都成立，有
          ．
          （?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時，①式即為
          ，
          即為 ．
          ③式對k＝1，2，…都成立，有
          ．     
②
          綜上，①式對任意n∈N+成立，有．
          故a0的取值范圍為（0，）．
          解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特別取n＝1，2有
          a1－a0=1－3a0>0，
          a2－a1=6a0>0，
          因此  ．
          下面證明當(dāng)時，對任意n∈N+，有an－an－1>0．
          由an通項公式
          ．
          （?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時，
          ＝0．
          （?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時，
          ≥0．
          故a0的取值范圍為（0，）．
          
				
          
	
          
		
          


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