Question

如圖甲所示，靜電除塵裝置中有一長為L、寬為b、高為d的矩形通道，其前、后面板使用絕緣材料，上、下面板使用金屬材料．圖乙是裝置的截面圖，上、下兩板與電壓恒定的高壓直流電源相連．質(zhì)量為m、電荷量為-q、分布均勻的塵埃以水平速度v₀進(jìn)入矩形通道，當(dāng)帶負(fù)電的塵埃碰到下板后其所帶電荷被中和，同時被收集．通過調(diào)整兩板間距d可以改變收集效率η．當(dāng)d=d₀時η為81%（即離下板0.81d₀范圍內(nèi)的塵埃能夠被收集）．不計塵埃的重力及塵埃之間的相互作用．
（1）求收集效率為100%時，兩板間距的最大值d_m；
（2）求收集率η與兩板間距d的函數(shù)關(guān)系；
（3）若單位體積內(nèi)的塵埃數(shù)為n，求穩(wěn)定工作時單位時間下板收集的塵埃質(zhì)量

△M

△t

與兩板間距d的函數(shù)關(guān)系，并繪出圖線．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)類平拋運動分析方法：水平方向勻速和豎直方向勻加速具有等時性，即粒子在電場中運動的時間不超過t=

1

v0

，所以得出臨界問題的臨界條件；再由豎直方向勻加速直線運動的規(guī)律求解相關(guān)問題即可．
（2）結(jié)合第一問中的臨界條件，得出恰好經(jīng)過下板右邊緣的離子的豎直位移表達(dá)式，再由收集效率的表達(dá)式η=

x

d

，可得收集率η與兩板間距d的函數(shù)關(guān)系．
（3）結(jié)合第二問的分析，可得出質(zhì)量

△M

△t

與兩板間距d的函數(shù)關(guān)系．

解答：解：
（1）收集效率η為81%，即離下板0.81d₀的塵埃恰好到達(dá)下板的右端邊緣，設(shè)高壓電源的電壓為U，在水平方向有：
L=v₀t…①
在豎直方向有：
0.81d0=

1

2

at2…②
其中：a=

F

m

=

qE

m

=

qU

md0

…③
當(dāng)減少兩板間距時，能夠增大電場強度，提高裝置對塵埃的收集效率．收集效率恰好為100%時，兩板間距為d_m．如果進(jìn)一步減少d，收集效率仍為100%．
因此，在水平方向有L=v₀t…④
在豎直方向有dm=

1

2

a′t2…⑤
其中a′=

F′

m

=

qE′

m

=

qU

mdm

…⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥可得d_m=0.9d_0…⑦
（2）通過前面的求解可知，當(dāng)d≤0.9d₀時，收集效率η為100%；
 當(dāng)d＞0.9d₀時，設(shè)距下板x處的塵埃恰好到達(dá)下板的右端邊緣，此時有x=

1

2

qU

md

(

L

v0

)2…⑧
根據(jù)題意，收集效率為η=

x

d

…⑨
聯(lián)立①②③⑧⑨可得η=0.81(

d0

d

)2
（3）穩(wěn)定工作時單位時間下板收集的塵埃質(zhì)量

△M

△t

=ηnmbdv₀
當(dāng)d≤0.9d₀時，η=1，因此

△M

△t

=nmbdv₀
當(dāng)d＞0.9d₀時，η=0.81(

d0

d

)2，因此

△M

△t

=0.81nmbv0

d 2 0

d

繪出的圖線如圖．
答：（1）收集效率為100%時，兩板間距的最大值為0.9d₀
（2）收集率η與兩板間距d的函數(shù)關(guān)系為η=0.81(

d0

d

)2
（3）塵埃質(zhì)量

△M

△t

與兩板間距d的函數(shù)關(guān)系為當(dāng)d≤0.9d₀時，

△M

△t

=nmbdv₀，當(dāng)d＞0.9d₀時，

△M

△t

=0.81nmbv0

d 2 0

d

．

點評：本題主要考查了帶電粒子在勻強電場中的偏轉(zhuǎn)問題，考查對臨界問題和類平拋運動問題的分析、解決問題的能力．
對于臨界問題分析時首先要找臨界條件；對類平拋運動要從三個方面著手：①分運動的獨立性；②分運動的等時性；③由x=

qU

2md

(

L

v0

)2，可知出現(xiàn)臨界問題的原因有：極板長度、極板間距、粒子的速度．