Question

牛頓曾經(jīng)認(rèn)為：熟了的蘋(píng)果離開(kāi)蘋(píng)果樹(shù)后不一定做自由落體運(yùn)動(dòng)，在地球赤道上的蘋(píng)果樹(shù)，當(dāng)其高度為某一個(gè)值時(shí)，蘋(píng)果脫離蘋(píng)果樹(shù)后可以相對(duì)蘋(píng)果樹(shù)靜止而不下落．經(jīng)過(guò)一番運(yùn)算后他終于給出了答案．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，則：
（1）牛頓的“蘋(píng)果樹(shù)”的高度為_(kāi)_____；
（2）牛頓的“蘋(píng)果樹(shù)”的“蘋(píng)果”脫離果樹(shù)后運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度為_(kāi)_____．（用題目中的已知量表示）

Answer 1

（1）離樹(shù)的蘋(píng)果相當(dāng)于地球同步衛(wèi)星，設(shè)蘋(píng)果質(zhì)量為m，離地高度為h，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力
G

Mm

(R+h)2

=m（

2π

T

）²（R+h）①
在地球表面，質(zhì)量為m的物體重力約等于萬(wàn)有引力，
mg=G

Mm

R2

，所以有g(shù)=G

M

R2

   ②
由以上兩式可得，h=

gT2

4π2

-R
（2）蘋(píng)果做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)速度可由定義式得出v=

2π(R+h)

T

故答案為（1）

gT2

4π2

-R；（2）v=

2π(R+h)

T