Question

在無風(fēng)的情況下，假定雨點(diǎn)下落過程中受到的空氣阻力與下落速度的平方成正比，即f=kυ²（k為比例系數(shù)）．若雨點(diǎn)看作球形，球體體積大小的公式為

4

3

πr3，其中r為球體半徑，又雨點(diǎn)的密度為ρ．由于下落的高度較高，使得每個(gè)雨點(diǎn)最終都做勻速運(yùn)動(dòng)．求：（1）簡述雨點(diǎn)下落的運(yùn)動(dòng)情況；（2）雨點(diǎn)的落地速度．

Answer 1

分析：（1）雨滴向下運(yùn)動(dòng)的過程中受重力和空氣阻力，根據(jù)牛頓第二定律判斷出加速度的變化，根據(jù)加速度方向與速度方向的關(guān)系得出雨滴下落過程中的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）雨滴落地前做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力和阻力大小相等求出最終的速度的大小．

解答：解：（1）開始重力大于阻力，雨點(diǎn)向下加速，阻力也隨之增大，合力減小，加速度減小，故雨點(diǎn)作向下加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)阻力增大到等于重力，雨點(diǎn)就作勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）由題意可知，雨點(diǎn)最后勻速落地．
所以：mg-f=0
即有 ρ

4

3

πr3g-kv2=0
即：v=

4πρr3g 3

答：（1）雨點(diǎn)下落的運(yùn)動(dòng)情況是雨點(diǎn)先作向下加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最后作勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）雨點(diǎn)的落地速度為

4πρr3g 3

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵知道加速度的方向與合力方向相同，當(dāng)加速度方向與速度方向同向，做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度方向與速度方向相反，做減速運(yùn)動(dòng)．