Question

在無(wú)風(fēng)的情況下，假定雨點(diǎn)下落過(guò)程中受到的空氣阻力與下落速度的平方成正比，即f=kv²（k為比例系數(shù)且已知）．若雨點(diǎn)看作球形，球體體積大小的公式為

4

3

πr3，其中r為球體半徑，又雨點(diǎn)的密度為ρ．由于下落的高度較高，使得每個(gè)雨點(diǎn)最終都做勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）簡(jiǎn)述雨點(diǎn)下落的運(yùn)動(dòng)情況；
（2）若在雨點(diǎn)加速運(yùn)動(dòng)的某時(shí)刻速度為v₀，求其此時(shí)的加速度大�。�
（3）求雨點(diǎn)落地時(shí)最終速度．

Answer 1

分析：（1）雨滴向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受重力和阻力，根據(jù)牛頓第二定律判斷出加速度的變化，根據(jù)加速度方向與速度方向的關(guān)系得出雨滴下落過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）若在雨點(diǎn)加速運(yùn)動(dòng)的某時(shí)刻速度為v₀，求出阻力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大�。�
（3）雨滴落地前做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力和阻力相等求出最終的速度的大�。�

解答：解：（1）在向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，加速度方向向下，做加速運(yùn)動(dòng)，速度增加，阻力增大，則加速度減小，所以雨滴先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
（2）雨滴的阻力f=kv02，
則加速度a=

mg-f

m

=g-

f

m

=g-

kv02

ρ? 4 3 πr3

=g-

3kv02

4ρπr3

．
（3）當(dāng)落地前有：mg=kv²
解得v=

mg k

=

ρ? 4 3 πr3g k

=

4ρπg(shù)r3 3k

．
答：（1）雨點(diǎn)先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
（2）此時(shí)的加速度大小為g-

3kv02

4ρπr3

．
（3）雨點(diǎn)落地時(shí)最終速度

4ρπg(shù)r3 3k

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道加速度的方向與合力方向相同，當(dāng)加速度方向與速度方向同向，做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度方向與速度方向相反，做減速運(yùn)動(dòng)．