Question

某平面上有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內、外均有垂直于該平面的勻強磁場，圓外磁場范圍足夠大，已知兩部分磁場方向相反，方向如圖所示，磁感應強度都為B，現在圓形區(qū)域的邊界上的A點有一個電量為q，質量為m的帶正離子沿半徑方向射入圓內磁場．求：
（1）若離子的速度大小為v₁，求該離子在磁場中的軌道半徑r；
（2）若離子與圓心O的連線旋轉一周時，離子也恰好回到A點，試求該離子的運動速度v；
（3）在離子恰能回到A點的情況下，該離子回到A點所需的最短時間t．

Answer 1

分析：（1）離子進入磁場中，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求出軌道半徑r；
（2）畫出離子運動的軌跡，由幾何知識求出軌跡的半徑，即可求出離子的運動速度v；
（3）粒子穿越圓形邊界的次數越少，所需時間就越短，根據上題中結論，求出粒子在圓形區(qū)域內運動的圓弧的圓心角，即可求出離子回到A點所需的最短時間t．

解答：解：
（1）由 Bqv=m

v2

r

 得r=

mv

qB

     ①
（2）如圖，O₁為粒子運動的第一段圓弧AB的圓心，O₂為粒子運動的第二段圓弧BC的圓心，如右圖所示，根據幾何關系可知 tanθ=

r

R

  ②
∠AOB=∠BOC=2θ，如果粒子回到A點，則必有 n×2θ=2π，（n=3，4，5…）③
由①②③可得v=

qBR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）
（3）粒子做圓周運動的周期T=

2πm

qB

因為粒子每次在圓形區(qū)域外運動的時間和圓形區(qū)域內運動的時間互補為一個周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數越少，所需時間就越短，因此取n=3，
其軌跡如左圖所示，代入到③可得θ=

π

3

 而粒子在圓形區(qū)域內運動的圓弧的圓心角為α=

π

3

故所求的粒子回到A點的最短運動時間 t=T+

α

2π

T=

7πm

3qB

．
答：（1）若離子的速度大小為v₁，該離子在磁場中的軌道半徑r是

mv

qB

；
（2）若離子與圓心O的連線旋轉一周時，離子也恰好回到A點，該離子的運動速度v是

qBR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）；
（3）在離子恰能回到A點的情況下，該離子回到A點所需的最短時間t是

7πm

3qB

．

點評：本題中離子做周期性的運動，畫出軌跡，由幾何知識求解軌道半徑是解題的關鍵．