Question

冬季滑雪是人們喜愛的運動，去年12月28日，鳥巢歡樂冰雪季正式全面開放，滑雪高臺位于奧林匹克中心區(qū)景觀大道東側，雪道傾角θ約10°左右．假設一愛好者和他的雪橇總質量m=75kg，沿足夠長的雪道向下滑去，已知他和雪橇所受的空氣阻力F與滑雪速度v成正比，比例系數k未知．從某時刻開始計時，測量得雪橇運動的v-t圖象如右圖中的曲線AD所示，圖中AB是曲線AD在A點（坐標為0、5）的切線，切線上一點B的坐標為（4、15），CD是曲線AD的漸近線．g取10m/s²．
（1）請畫出人和雪橇整體在下滑過程中的受力圖．
（2）試說明人和雪橇從t=0時刻開始，下滑過程中運動的特點．
（3）求空氣阻力F與滑雪速度v的比例系數k．

Answer 1

（1）對人受力分析，受重力、支持力、空氣阻力、摩擦阻力．
如圖所示：



（2）初速度為5m/s，加速度逐漸減小到0的加速運動，最后勻速運動的速度為10m/s．
（3）從AB的斜率可知，在開始運動時雪橇的加速度大小為a=2.5 m/s²
即有：mgsinθ-kv-μmgcosθ=ma…①
由AD這條漸近線可知，10m/s為其運動的收尾速度（即勻速運動速度），
即有：mgsinθ=μmgcosθ+kv_m…②
①②兩式聯立，得：kv_m-kv=ma…③
將v=5m/s、v_m=10m/s代入后得k=37.5Ns/m．  
答：（1）如圖所示；
（2）人做初速度為5m/s、加速度逐漸減小到0的加速運動，最后勻速運動的速度為10m/s；
（3）空氣阻力F與滑雪速度v的比例系數k為37.5Ns/m．