Question

（2006?宜昌模擬）如圖所示，總質(zhì)量為m的飛船繞地球在半徑為r₁的圓軌道Ⅰ上運(yùn)行，要進(jìn)入半徑為r₂的更高的圓軌道Ⅱ，必須先加速進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道Ⅲ，然后再進(jìn)入圓軌道Ⅱ．軌道Ⅰ、Ⅲ相切于A點(diǎn)．已知飛船在圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)速度大小為v，在A點(diǎn)通過發(fā)動(dòng)機(jī)向后以速度大小為u（對(duì)地）噴出一定質(zhì)量氣體，使飛船速度增加到v’進(jìn)入橢圓軌道Ⅲ．（已知量為m、r₁、r₂、v、v′、u）求：
（1）飛船在軌道Ⅰ上的速率v₁；
（2）發(fā)動(dòng)機(jī)噴出氣體的質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，分別得出兩圓軌道上線速度的大小關(guān)系，從而求出飛船在軌道Ⅰ上的速率．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出發(fā)電機(jī)噴出氣體的質(zhì)量．

解答：解（1）飛船在軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有G

Mm

r 2 1

=m

v 2 1

r1

，①
飛船在軌道Ⅱ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律G

Mm

r 2 2

=m

v 2

r2

，②
由①②得v=v1

r1 r2

．　　　③
（2）由題意知，飛船在噴氣過程中，運(yùn)動(dòng)方向上動(dòng)量守恒，mv₁=（m-△m）v'-△mu，④
由③④得△m=

v′-v r1 r2

v′+u

m．　　　　　　　
答：（1）飛船在軌道Ⅰ上的速率v=v1

r1 r2

．
（2）發(fā)動(dòng)機(jī)噴出氣體的質(zhì)量△m=

v′-v r1 r2

v′+u

m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了萬有引力提供向心力這一理論，以及動(dòng)量守恒定律，難度中等，平時(shí)的練習(xí)中需加強(qiáng)訓(xùn)練．