Question

一質(zhì)量為m的小球，系于長(zhǎng)為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點(diǎn)，假定繩是不可伸長(zhǎng)的、柔軟且無(wú)彈性的．今把小球從O點(diǎn)的正上方離O點(diǎn)的距離為

8

9

R的O₁點(diǎn)以水平的速度V0=

3

4

gR

拋出，如圖所示．試求：
（1）輕繩即將伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角為多少？
（2）當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力為多大？

Answer 1

分析：（1）先將平拋運(yùn)動(dòng)沿水平和豎直方向正交分解，根據(jù)位移公式列式求解；
（2）細(xì)線剛剛繃緊時(shí)，將速度沿著細(xì)線方向和處置細(xì)線方向正交分解，沿細(xì)線方向速度迅速減小為零，垂直細(xì)線方向速度不變，之后物體繞O點(diǎn)做變速圓周運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，先求出最低點(diǎn)速度，再根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律求解拉力．

解答：解：（1）小球的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)過(guò)程：
第一過(guò)程：小球做平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)繩即將伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角為θ，如圖所示，則V₀t=Rsinθ，

1

2

gt2=

8

9

R-Rcosθ，其中V0=

3

4

gR

聯(lián)立解得θ=

π

2

，t=

4

3

R g

．
即輕繩即將伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角為90°．
（2）第二過(guò)程：繩繃直過(guò)程．繩棚直時(shí)，繩剛好水平，如圖所示．由于繩不可伸長(zhǎng)，故繩繃直時(shí)，V₀損失，小球僅有速度V_⊥，且V⊥=gt=

4

3

gR

．
第三過(guò)程：小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)，速度為V′，根據(jù)機(jī)械能守恒守律有：

1

2

mV/2=

1

2

mV⊥2+mg?R
設(shè)此時(shí)繩對(duì)小球的拉力為T，則T-mg=m

V/2

R

，
聯(lián)立解得：T=

43

9

mg．
故當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力為

43

9

mg．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將小球的運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)過(guò)程進(jìn)行分析討論，平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程、突然繃緊的瞬時(shí)過(guò)程和變速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程；然后根據(jù)對(duì)各段運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)位移公式、速度分解法則、機(jī)械能守恒定律和向心力公式列式求解．