Question

我國(guó)自行研制的“神舟”六號(hào)載人飛船，于2005年10月12日在酒泉發(fā)射場(chǎng)由長(zhǎng)征二號(hào)F型火箭發(fā)射升空．并按預(yù)定軌道環(huán)繞地球飛行5天后，安全返回，在內(nèi)蒙古的主著陸場(chǎng)著陸．
（1）設(shè)“神舟”六號(hào)飛船在飛行過程中繞地球沿圓軌道運(yùn)行，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，時(shí)間t秒內(nèi)飛船繞地球運(yùn)行的圈數(shù)為N，求飛船離地面的平均高度h．
（2）已知質(zhì)量為m的飛船在太空中的引力勢(shì)能可表示為：Ep=-G

Mm

r

，式中G為萬有引力常量，M為地球的質(zhì)量，r為飛船到地球中心的距離．那么將質(zhì)量為m的飛船從地面發(fā)射到距離地面高度為h的圓形軌道上，長(zhǎng)征二號(hào)F型火箭至少要對(duì)飛船做多少功？（不考慮地球自轉(zhuǎn)對(duì)發(fā)射的影響）．

Answer 1

（1）設(shè)飛船質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，飛船周期為：T=

t

N

，
由萬有引力定律和牛頓第二定律對(duì)飛船的運(yùn)行過程有：
G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

，
又：
G

Mm

R2

=mg，
解得飛船離地面的高度：
h=

3	gR2t2 4π2N2

-R．
（2）若將飛船由距地球無窮遠(yuǎn)處移至距離地球表面為h處，引力做功為：
W₁=G

Mm

R+h

，
若將飛船由距地球無窮遠(yuǎn)處移至地球表面，引力做功為：
W₂=G

Mm

R

，
所以將飛船由地球表面發(fā)射到距離地面h高的軌道上的過程中，引力做功為：
W₃=G

Mm

R+h

-G

Mm

R

，
設(shè)飛船在距離地面高為h的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v，
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

，
設(shè)將飛船送入沿距地面高度為h的圓形軌道運(yùn)動(dòng)的過程中，火箭要對(duì)飛船所做的功為W，
根據(jù)動(dòng)能定理有：
W+W₃=

1

2

mv²，
解得：
W=G

Mm(R+2h)

R(R+h)

．
答：
（1）設(shè)“神舟”六號(hào)飛船在飛行過程中繞地球沿圓軌道運(yùn)行，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，時(shí)間t秒內(nèi)飛船繞地球運(yùn)行的圈數(shù)為N，求飛船離地面的平均高度h=

3	gR2t2 4π2N2

-R．
（2）已知質(zhì)量為m的飛船在太空中的引力勢(shì)能可表示為：Ep=-G

Mm

r

，式中G為萬有引力常量，M為地球的質(zhì)量，r為飛船到地球中心的距離．那么將質(zhì)量為m的飛船從地面發(fā)射到距離地面高度為h的圓形軌道上，長(zhǎng)征二號(hào)F型火箭至少要對(duì)飛船做功為W=G

Mm(R+2h)

R(R+h)

．