Question

如圖（a）所示，間距為L、電阻不計的光滑導(dǎo)軌固定在傾角為θ的斜面上．在區(qū)域I內(nèi)有方向垂直于斜面向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B_t的大小隨時間t變化的規(guī)律如下圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細(xì)棒ab從如圖位置由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，同時下端的另一金屬細(xì)棒cd在位于區(qū)域I內(nèi)的導(dǎo)軌上由靜止釋放．在ab棒運(yùn)動到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好．已知cd棒的質(zhì)量為m、電阻為R，ab棒的質(zhì)量未知、阻值為r，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長度為2L，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰好進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ之前cd棒上的感應(yīng)電流的方向及大小
（2）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ時的速度大小及進(jìn)入時刻t_x
（3）ab棒從開始下滑至EF的過程中回路中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析：（1）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ之前，根據(jù)cd棒處于靜止，通過安培力的方向，根據(jù)左手定則判斷出cd棒上的感應(yīng)電流的方向．由平衡條件和安培力公式F=BIL求得感應(yīng)電流I的大��；
（2）由圖b圖看出，t=t_x時刻ab棒恰好進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ做勻速直線運(yùn)動，此時cd棒仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，電路中感應(yīng)電流不變，根據(jù)閉合電路歐姆定律和E=BLv，可求出ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ時的速度v的大�。甦b棒進(jìn)入磁場Ⅱ前做勻加速直線運(yùn)動，不受安培力，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合可求出t_x．
對cd棒，根據(jù)平衡求出感應(yīng)電流的大小，根據(jù)P=I²R求出當(dāng)ab棒在區(qū)域II內(nèi)運(yùn)動時cd棒消耗的電功率．
（4）回路中感應(yīng)電流是恒定的，根據(jù)焦耳定律求解熱量．

解答：解：（1）cd棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，其受力如圖，由左手定則判斷知cd棒上的感應(yīng)電流方向為：d到c．

對cd棒，由平衡條件，得mgsinθ=BIL  ①
解得 I=

mgsinθ

BL

（2）設(shè)ab棒以速度v進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ?qū)⒆鰟蛩僦本�運(yùn)動，由閉合回路的歐姆定律得：

BLv

R+r

=I  ②
解得 v=

mg(R+r)sinθ

B2L2

ab棒未進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ時做勻加速直線運(yùn)動，得  mgsinθ=ma  ③
    v=at_x ④
解得  tx=

m(R+r)

B2L2

（3）因回路中電流是恒定電流，則  Q=I2(R+r)(tx+

2L

v

)  ⑤
解得Q=

m3g2(R+r)2sin2θ

B4L4

+2mgLsinθ
答：
（1）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ之前cd棒上的感應(yīng)電流的方向d到c，大小為

mgsinθ

BL

．
（2）ab棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ時的速度大小及進(jìn)入時刻t_x

m(R+r)

B2L2

．
（3）ab棒從開始下滑至EF的過程中回路中產(chǎn)生的熱量為

m3g2(R+r)2sin2θ

B4L4

+2mgLsinθ．

點評：解決這類問題的關(guān)鍵是弄清電路結(jié)構(gòu)，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．關(guān)鍵要抓住cd棒始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，分析受力情況是本題的突破口．